【洛谷T7152】（考试题目）细胞

题面

题目描述

小 X 在上完生物课后对细胞的分裂产生了浓厚的兴趣。于是他决定做实验并

观察细胞分裂的规律。

他选取了一种特别的细胞，每天每个该细胞可以分裂出 x − 1 个新的细胞。

小 X 决定第 i 天向培养皿中加入 i 个细胞（在实验开始前培养皿中无细胞）。

现在他想知道第 n 天培养皿中总共会有多少个细胞。

由于细胞总数可能很多，你只要告诉他总数对 w 取模的值即可。

输入格式：

第一行三个正整数 n, x,w

输出格式：

一行一个数表示第 n 天的细胞总数对 w 取模的值。

输入输出样例

输入样例#1：

2 2 47

输出样例#1：

4

题解

首先，考试的时候，我想到的方法是化简公式

利用多次错位相减，可以求出最后的公式

但是，如果这么求

需要利用到(x-1)关于w的乘法逆元

而题目并没有保证(x-1)与w是互质的

因此，此时，虽然这种方法十分好

但是却无法求解

这个时候

我们只能转而求其次

寻找其他的方法

我们知道

这是一个递推式

但是n的值十分大

无法利用递推来求解

这个时候

我们需要用到矩阵

把所求转换为矩阵

然后就能够求解了

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
using namespace std;
#define MAX 20
long long n,MOD,x;
struct yl//矩阵
{
	   int n;//大小
	   long long g[MAX][MAX];
}ans,S;
inline yl operator*(yl a,yl b)//定义乘法
{
	   int n=a.n;
	   yl cool;
	   memset(cool.g,0,sizeof(cool.g));
	   for(int i=1;i<=n;++i)
	   	    for(int j=1;j<=n;++j)
				 for(int k=1;k<=n;++k)
				        cool.g[i][j]=(cool.g[i][j]+1ll*a.g[i][k]*b.g[k][j]%MOD)%MOD;
	   cool.n=n;
	   return cool;
}
yl Pow(yl a,long long b)//a的b次方
{
	   if(b==1)return a;
	   yl s=Pow(a,b/2);
	   s.n=a.n;
	   s=s*s;
	   if(b&1)s=s*a;
	   return s;
}
int main()
{
	    cin>>n>>x>>MOD;
	    yl a;
	    a.n=3;
	    a.g[1][1]=x;
	    a.g[1][2]=a.g[1][3]=a.g[2][3]=0;
	    a.g[2][1]=a.g[2][2]=a.g[3][1]=a.g[3][2]=a.g[3][3]=1;
	    S=Pow(a,n);
	    ans.n=3;
	    ans.g[1][3]=1;
	    ans=ans*S;
	    cout<<ans.g[1][1]<<endl;
	    return 0;
}