$HNOI\ 2010$ 解题报告

HNOI 2010 解题报告

0. HNOI2010 AC代码包下载地址

注：
戳上面的标题中的'地址' 下载 代码包，
戳下面每一题的文件名 可进入 题目链接。
每一题 对应代码的文件名 我在 每一题题解的标题旁 备注了。
提醒：请不要直接 \(Copy\) 我的代码，代码仅供用于题目理解与对拍。

1. [HNOI2010]弹飞绵羊\(\ \)(Sheep.cpp)

比较简单的一题。解法有\(INF\)种，这里给两种：
( 1 ) \(LCT\)维护链长，对边界外(\(>n\))开一虚点\(S\)，每次查询即为\(x\)到\(S\)的路径长。
( 2 ) 分块，把序列分成\(\sqrt{n}\)块，对于每个点维护跳出所属块需要多少次，修改与查询都是\(O(\sqrt{n})\)的。

2. [HNOI2010]BUS 公交线路\(\ \)(Bus.cpp)

原题中，一辆公交车经过的相邻两个站台间距离不得超过\(P \ km\)
本题关键就在这里，这意味着在任意区间长度为\(P\)的区间中，每个数字至少出现一次。
然后\(DP\)，\(f[i][S]\)表示做到第\(i\)个车站，\([i,i+P-1]\)区间内的车站情况为\(S\)的方案数。
其中\(S\)是记录每一个车站是否被选择了(\(1\)表示已选择，\(0\)表示未选择)。
每次强制\(S\)中\(1\)的个数为\(K\)，转移时强制移动\(S\)中的第一辆车(保证第一个位置为\(1\))。
显然每次转移都是一模一样的，用矩阵快速幂优化一下就可以跑过\(n\leq 10^9\)的数据点。

3. [HNOI2010]CHORUS 合唱队\(\ \)(Chorus.cpp)

水题，放在普及组第\(3\)题还差不多。
\(f[l][r][0/1]\)表示放置完\([l,r]\)的人，本次放的是\(0/1\)(左端/右端)的方案数。
转移就是一般的区间\(DP\)的转移，自己手玩一下即可，也非常简单。

4. [HNOI2010]CITY 城市建设\(\ \)(City.cpp)

难度比较大......
做法是分治，
对于一段修改序列，修改操作涉及的边 我们没法处理，递归解决。
考虑当前所有 不涉及修改的边 ，其实每次我们可以直接排除一些边对后面的影响：

( 1 ) \(Contraction\):
把修改边的权值设为\(-INF\)，跑一遍\(Kruskal\)，
此时出现在最小生成树中的非 \(-INF\)边在后面必须要选。称其为必选边。
( 2 ) \(Reduction\):
把修改边的权值设为\(INF\)，跑一遍\(Kruskal\)，
此时出现在最小生成树中的非\(INF\)边在后面一定不会选。称其为无用边。

那么二分处理修改序列。
在二分的每一层，排除此时的必选边与无用边，然后得到一个新的边集，递归处理。
边界条件是只剩下一个修改，这时修改对应边的权值，然后跑\(Kruskal\)即可得到答案。
每一次删边都大幅度的减小了图的规模，复杂度暂时不会证，就\(O(AC)\)吧。

5. [HNOI2010]MATRIX 矩阵\(\ \) (Matrix.cpp)

个人认为是HNOI2010中出的最棒的一题。
显然确定了矩阵的第一行第一列这个矩阵就可以确定下来了。
直接暴搜这个可以\(0ms\)跑过一个点(虽然直接全局暴搜也可以\(24ms\)跑过这个点)。
下面看正解，我们先构造一个不管值域范围的和合法的矩阵：
\[c[i][j] = sum[i][j]-c[i-1][j-1]-c[i][j-1]-c[i-1][j]\]
特别的，第一行第一列的\(c = 0\)。 假设\(mp[i][j]\)表示最终确定的矩阵。
那么显然有：
\(mp[i][j] = mp[0][0]*f(i+j+1)+mp[0][j]*f(i)+mp[i][0]*f(j)+c[i][j]\)
其中\(f(x) = (x\%2==1) ? (-1) : (1)\)
所以枚举第一行的情况，利用上面的关系是检查第一列是否有解即可。
具体的检验法就是把\(mp[i][j]=\)\(0\)或\(p-1\)带入上面的式子中，解出\(mp[0][j]\)。
得到的两个值即为此时的限制\(Dn_{now}\)与\(Up_{now}\)，
然后\(Dn = max(Dn,Dn_{now})\ ;\ Up = min(Up,Up_{now}) ;\)，判一下空集即可。

6. [HNOI2010]PLANAR\(\ \)(Planar.cpp)

改善心情的一道题 ( HNOI2010题目难度两极分化真的很严重啊)。
首先平面图定理：\(边数 \leq 点数*3+6\)，把边数降到\(O(n)\)级。
显然直接把给你的哈密顿路径拉成一个环。
那么除了环上的边，剩下的边只有可能在环的里面或者环的外面。
网上一堆人嚷嚷 \(2-SAT\) 其实完全没必要。
判一下线交，类似关押罪犯那题一样做一遍 补集并查集 即可。

7. [HNOI2010]STONE 取石头游戏\(\ \)(Stone.cpp)

话说每年省选都一定会有一道毒瘤题。 这题我感觉考场想出来的概率为\(\% eps\)......
题目的意思是：给两个栈和一些双端队列，问先后手最优方案下的取值。
先看栈，栈的取值其实是固定了的。
对于栈\([a_e a_{e-1} ....a_2 a_1>\)，如果有\(a_e > a_{e-1}\)，
那么当前的先手(当前取的人)去取\(a_{e-1}\)肯定是不优的，因为对手立刻可以取掉\(a_{e}\)。
我们把这种情况放到最后，按照奇偶顺序去取。
然后是双端队列，双端队列的处理则比较巧妙：
对于双端队列\(<a_1 a_2....a_{e-1}a_e>\)，如果存在\(a_{i-1} < a_i > a_{i+1}\)这样的上凸关系，
那么此时的先手与后手的收益差其实是确定了的，
所以我们把收益替换为：\(a_{new} = a_{i-1} + a_{i+1} - a_i\)。
由于这样合并后，先后手收益关系并没有变，
所以这样不断变化，序列每个元素其实就变为了先后手收益差。
注意理解这里：这里的先后手收益差中的 先手是指 第一个取这个元素所代表的石子堆集合的人。
然后把元素从大到小排序，依次取，得到最终两者的数量差，解方程即可的到两人的最终石子数。

8. [HNOI2010]FSK 物品调度\(\ \)(Fsk.cpp)

此题又是强行二合一(另外一道蛇皮题是[SDOI2010]粟粟的书架)。
先解决比较简单的一问吧。 假设我们已经得到了\(pos_i\)数组，那么最少步数是多少？
这一问还是比较容易的。先把循环节都跑出来，把长度为1的丢掉,
设循环节的长度为\(L\) , 那么就两种情况：

( 1 )循环节中 有 \(0\)(空位),
那么直接循环\(L-1\)次把循环节上的每一个点归位即可，一共操作\(L-1\)次。
.
( 2 )循环节中 无 \(0\)(空位),
那么先把\(0\)拉进循环节，再循环\(L-1\)次，然后把\(0\)踢出去，一共操作\(L+1\)次。

然后就是\(pos_i\)数组的求解。我们要给每一个点分配一个位置，
看一下公式：\(pos_i=(c_i+d*x_i+y_i)\ mod\ n\)
如果\(y_i\)固定，那么\(pos_i\)的取值会构成一个环。
所以我们从小到达枚举\(y_i\)，检查\(y_i\)对应的环中是否还有\(pos\)可以取。
如果没有可取的，\(y_i++\), 到下一个环中继续找，直到找到了一个合法的取值为止。
显然这个东西直接用 并查集或者链表 维护就行了。

9. HNOI2010 考察知识点汇总

( 1 )弹飞绵羊(Sheep)： \(LCT\) 、 分块
( 2 )公交线路(Bus)： 状压\(DP\)、矩阵优化
( 3 )合唱队(Chorus)： 区间\(DP\)
( 4 )城市建设(City)： 二分、最小生成树
( 5 )矩阵(Matrix)： 搜索与剪枝、数学推导
( 6 )平面图(Planar)： 平面图定理、并查集
( 7 )取石子游戏(Stone)： 逻辑推导，贪心
( 8 )物品调度(Fsk)： 并查集、置换群