图的遍历之深度优先搜索（DFS）

深度优先搜索（depth-first search）是对先序遍历（preorder traversal）的推广。”深度优先搜索“，顾名思义就是尽可能深的搜索一个图。想象你是身处一个迷宫的入口，迷宫中的路每一个拐点有一盏灯是亮着的，你的任务是将所有灯熄灭，按照DFS的做法如下：

1. 熄灭你当前所在的拐点的灯

2. 任选一条路向前（深处）走，每经过一个拐点将灯熄灭直到与之相邻的拐点的灯全部熄灭后，原路返回到某个拐点的相邻拐点灯是亮着的，走到灯亮的拐点，重复执行步骤1

3. 当所有灯熄灭时，结束

将上面的例子抽象出来的DFS的算法描述（C伪代码）如下：

//布尔型数组Visited[]初始化成false
void DFS(Vetex v)
{
    Visited[v] = true;
    for each w adjacent to v
        if (!Visited[w])
            DFS(w);
}

可以看出上述的DFS为递归算法，可以利用栈将其转为非递归。C伪代码如下：

//布尔型数组Visited[]初始化成false
void DFS(Vertex v)
{
    Visited[v] = true;    
    Stack  sta = MakeStack(MAX_SIZE);
    Push(sta, v);
    while (!Empty(sta))
    {
        Vertex w = Pop(sta);
        for each u adjacent to w
        {
            if (!Visited[u])
            {
                Push(sta, u);
                Visited[u] = true;            
            }
        }
    }
}

引理： 若图G是连通的，则通过深度优先搜索可以对它的所有顶点进行标记，并且在算法的执行过程中，它的每一条边至少被查看过一次。

证明： 假设结论不成立，令U表示算法最终未被标记过的顶点的集合。由于G是连通的，因此在U中至少有一个顶点与一个被标记过的顶点相连。但是这种情况不可能成立，因为一旦一个顶点被访问过了，则所有与它相连的未被标记过的顶点也会被访问（从而也被标记）。故所有顶点都会被访问而标记，并且一旦某个顶点被访问，它相连的边就会被查看，所以每条边都将被查看过。

然而，如果一个图G不是连通的，要标记所有顶点，需对DFS稍作修改：若在第一次尝试所有顶点都被标记过，则图是连通的，否则，从任意一个未被标记的顶点开始，再次执行DFS。所以我们可以利用DFS确定一个图是否连通。C伪代码描述上述算法如下：

/*返回连通成分的数目*/
int ConnectedComponents ( Graph G )
{
    int componentNum = ;
    for ( each v in G )
        if ( !visited[V] )
        {
            DFS( v );
            componentNum += ;
        }
    return componentNum;
} 

上述算法的复杂度：

若有N个顶点、 E条边，时间复杂度是
　　用邻接表存储图，有O(N+E)
　　用邻接矩阵存储图，有O(N^2)

深度优先搜索的相关练习：

　　poj-1979 Red and Black

　　poj-2386 Lake Counting

　　列出连通集

　　06-图2 Saving James Bond - Easy Version

poj-2488 A Knight's Journey

拓展阅读：

       深度优先生成树及其应用

参考资料：

《数据结构与算法分析-C语言描述》

《算法引论》