【LOJ3043】「ZJOI2019」线段树

题面

问题可以转化为每次区间覆盖操作有 \(\frac{1}{2}\) 的概率进行，求标记和的期望。于是我们只要求出所有点有标记的概率即可。

我们设 \(f_i\) 表示节点 \(i\) 有标记的概率， \(g_i\) 表示节点 \(i\) 的祖先节点有标记的概率。如果一个节点未完全被包含，那么其未被包含的节点是否有标记取决于其祖先节点是否有标记，故要用来自祖先节点的信息来更新答案（设未包含的节点为 \(j\) ，那么 \(f_j \leftarrow \frac{f_j+g_j}{2}\) ）。如果一个节点被完全包含，那么 \(f_i \leftarrow \frac{f_i+1}{2}\) ，其所有子节点(包括自己) \(g_j \leftarrow \frac{g_j+1}{2}\) ； 否则因为当前到达的区间标记已被下传，所以 \(f_i\leftarrow \frac{f_i}{2}, g_i\leftarrow \frac{g_i}{2}\) 。 线段树维护 \(f_i,g_i\) ， \(g_i\) 的维护需要打标记。

#include<cstdio>
#include<cassert>
inline int gi()
{
	char c=getchar(); int x=0;
	for(;c<'0'||c>'9';c=getchar());
	for(;c>='0'&&c<='9';c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
	return x;
}
const int N=2e5+5,Mod=998244353,inv=Mod+1>>1;
int n,m,f[N<<2],g[N<<2],sum[N<<2],tg1[N<<2],tg2[N<<2],fm=1;
#define lx (x<<1)
#define rx (x<<1|1)
#define mul(x,y) (1ll*(x)*(y)%Mod)
#define div2(x) (1ll*(x)*inv%Mod)
void pushdown(int x)
{
	if(tg1[x]==1&&tg2[x]==0) return ;
	tg1[lx]=mul(tg1[lx],tg1[x]),tg1[rx]=mul(tg1[rx],tg1[x]);
	tg2[lx]=(mul(tg2[lx],tg1[x])+tg2[x])%Mod;
	tg2[rx]=(mul(tg2[rx],tg1[x])+tg2[x])%Mod;
	g[lx]=(mul(g[lx],tg1[x])+tg2[x])%Mod;
	g[rx]=(mul(g[rx],tg1[x])+tg2[x])%Mod;
	tg1[x]=1,tg2[x]=0;
}
void solve(int x)
{
	f[x]=div2((f[x]+g[x])%Mod);
	sum[x]=((sum[lx]+sum[rx])%Mod+f[x])%Mod;
}
void update(int x, int l, int r, int sl, int sr)
{
	if(sl<=l&&r<=sr)
	{
		f[x]=div2(f[x]+1);
		g[x]=div2(g[x]+1);
		sum[x]=((sum[lx]+sum[rx])%Mod+f[x])%Mod;
		tg1[x]=div2(tg1[x])%Mod;
		tg2[x]=(div2(tg2[x])+inv)%Mod;
		return ;
	}
	pushdown(x);
	f[x]=div2(f[x]),g[x]=div2(g[x]);
	int mid=l+r>>1;
	if(sl>mid)
		update(rx,mid+1,r,sl,sr),solve(lx);
	else if(sr<=mid)
		update(lx,l,mid,sl,sr),solve(rx);
	else update(lx,l,mid,sl,sr),update(rx,mid+1,r,sl,sr);
	sum[x]=((sum[lx]+sum[rx])%Mod+f[x])%Mod;
}
int main()
{
	n=gi(),m=gi();
	for(int i=1;i<=(n<<2);++i) tg1[i]=1;
	while(m--)
	{
		int op=gi();
		if(op==2) printf("%d\n",1ll*fm*sum[1]%Mod);
		else
		{
			fm=2ll*fm%Mod;
			int l=gi(),r=gi();
			update(1,1,n,l,r);
		}
	}
}