bzoj 2844 albus就是要第一个出场 异或和出现次数 线性基

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题意

给定\(n\)个数，将其所有的子集（\(2^n\)个）的异或和按升序排列。给出一个询问\(q\)，问\(q\)在该序列中第一次出现位置的下标（下标从\(1\)开始）。

题解

结论

记其线性基为\(\mathfrak B\)，则每个异或和出现的次数为\(2^{n-|\mathfrak B|}\).

证明

从高斯消元的角度看，将\(n\)个数看作\(n\)个行向量，经行等价变换后得到一个行简化梯形矩阵，非零行的行数为\(|\mathfrak B|\)，而下面的\(n-|\mathfrak B|\)行为零行。

从上面的\(|\mathfrak B|\)行中取若干行，异或起来得到一个值\(x\)；而在下面的\(n-|\mathfrak B|\)行中无论取多少个与\(x\)进行异或，得到的值都仍为\(x\)（因为下面\(n-|\mathfrak B|\)行的数均为\(0\)）. 因为一共有\(2^{n-|\mathfrak B|}\)种取法，所以值\(x\)出现了\(2^{n-|\mathfrak B|}\)次。

注意点

无论这\(n\)个数是否线性相关，\(0\)都始终在序列中出现，因为子集可以为空集。

进一步的，如果该\(n\)个数线性无关，则\(0\)只会出现一次，由线性无关的定义易知。

对应于上面的结论，因线性无关，所以\(|\mathfrak B|=n,2^{n-|\mathfrak B|}=1\)，也是吻合的。

Code

#include <bits/stdc++.h>
#define mod 10086
#define maxl 30
using namespace std;
typedef long long LL;
LL poww(LL a, LL b) {
    LL ret = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) (ret *= a) %= mod;
        (a *= a) %= mod;
        b >>= 1;
    }
    return ret;
}
struct LinearBasis {
    LL a[maxl+1]; int size; vector<int> v;
    LinearBasis() { memset(a, 0, sizeof(a)); size = 0; v.clear(); }
    void insert(LL t) {
        for (int i = maxl; i >= 0; --i) {
            if (!(t >> i & 1)) continue;
            if (a[i]) t ^= a[i];
            else {
                ++size;
                for (int j = 0; j < i; ++j) if (t >> j & 1) t ^= a[j];
                for (int j = i+1; j <= maxl; ++j) if (a[j] >> i & 1) a[j] ^= t;
                a[i] = t;
                return;
            }
        }
    }
    void basis() {
        for (int i = 0; i <= maxl; ++i) if (a[i]) v.push_back(i);
    }
    LL rank(LL x) {
        LL ret = 0;
        for (int i = 0; i < v.size(); ++i) if (x >> v[i] & 1) ret += 1LL << i;
        return ret;
    }
};
int main() {
    int n, x, q;
    scanf("%d", &n);
    LinearBasis lb;
    for (int i = 0; i < n; ++i) scanf("%d", &x), lb.insert(x);
    lb.basis();
    scanf("%d", &q);
    LL num = poww(2, n - lb.size);
    printf("%lld\n", (lb.rank(q) % mod * num % mod + 1) % mod);
    return 0;
}