【bzoj2406】矩阵 二分+有上下界可行流

题目描述

输入

第一行两个数n、m，表示矩阵的大小。

接下来n行，每行m列，描述矩阵A。

最后一行两个数L，R。

输出

第一行，输出最小的答案；

样例输入

2 2
0 1
2 1
0 1

样例输出

1

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题解

二分+有上下界可行流

题目一眼二分，问题转化为判断是否存在一种填数方式满足行之和的差与列之和的差都不超过mid。

然后原来的和式就可以转化为$|\sum\limits_{i=1}^na_i-\sum\limits_{i=1}^nb_i|\le mid$，即可得到$\sum\limits_{i=1}^nb_i$的范围。

对于每行和每列都得到一个这样的范围，然后这就转化为一个经典的矩阵建图模型：S向行连边，表示每行的和；行向列连边，表示每个数；列向T连边，表示每列的和。

于是就可以使用有源汇有上下界可行流来判断是否有解。

需要注意的一点是$\sum\limits_{i=1}^nb_i$的下界不能是负数，因此减的时候需要判断一下。

#include <queue>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#define N 410
#define M 100000
#define inf 1 << 30
using namespace std;
queue<int> q;
int n , m , b , e , a[N][N] , sx[N] , sy[N] , head[N] , to[M] , val[M] , next[M] , cnt , low[N] , s , t , dis[N];
void add(int x , int y , int z)
{
	to[++cnt] = y , val[cnt] = z , next[cnt] = head[x] , head[x] = cnt;
	to[++cnt] = x , val[cnt] = 0 , next[cnt] = head[y] , head[y] = cnt;
}
bool bfs()
{
	int x , i;
	memset(dis , 0 , sizeof(dis));
	while(!q.empty()) q.pop();
	dis[s] = 1 , q.push(s);
	while(!q.empty())
	{
		x = q.front() , q.pop();
		for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
		{
			if(val[i] && !dis[to[i]])
			{
				dis[to[i]] = dis[x] + 1;
				if(to[i] == t) return 1;
				q.push(to[i]);
			}
		}
	}
	return 0;
}
int dinic(int x , int low)
{
	if(x == t) return low;
	int temp = low , i , k;
	for(i = head[x] ; i ; i = next[i])
	{
		if(val[i] && dis[to[i]] == dis[x] + 1)
		{
			k = dinic(to[i] , min(temp , val[i]));
			if(!k) dis[to[i]] = 0;
			val[i] -= k , val[i ^ 1] += k;
			if(!(temp -= k)) break;
		}
	}
	return low - temp;
}
bool judge(int mid)
{
	int i , j , tl , tr , sum = 0;
	memset(head , 0 , sizeof(head)) , memset(low , 0 , sizeof(low)) , cnt = 1;
	add(n + m + 1 , 0 , inf);
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ ) tl = max(sx[i] - mid , 0) , tr = sx[i] + mid , add(0 , i , tr - tl) , low[0] -= tl , low[i] += tl;
	for(i = 1 ; i <= m ; i ++ ) tl = max(sy[i] - mid , 0) , tr = sy[i] + mid , add(i + n , n + m + 1 , tr - tl) , low[i + n] -= tl , low[n + m + 1] += tl;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			add(i , j + n , e - b) , low[i] -= b , low[j + n] += b;
	for(i = 0 ; i <= n + m + 1 ; i ++ )
	{
		if(low[i] > 0) add(s , i , low[i]) , sum += low[i];
		else add(i , t , -low[i]);
	}
	while(bfs()) sum -= dinic(s , inf);
	return !sum;
}
int main()
{
	int i , j , l = 0 , r = 200000 , mid , ans;
	scanf("%d%d" , &n , &m) , s = n + m + 2 , t = n + m + 3;
	for(i = 1 ; i <= n ; i ++ )
		for(j = 1 ; j <= m ; j ++ )
			scanf("%d" , &a[i][j]) , sx[i] += a[i][j] , sy[j] += a[i][j];
	scanf("%d%d" , &b , &e);
	while(l <= r)
	{
		mid = (l + r) >> 1;
		if(judge(mid)) ans = mid , r = mid - 1;
		else l = mid + 1;
	}
	printf("%d\n" , ans);
	return 0;
}