题面:

传送门

实际上就是求:

思路:

看到gcd就先反演一下,过程大概是这样:

明显的一步反演

这里设,S(x)等于1到x的和

然后把枚举d再枚举T变成先枚举T再枚举其约数d,变形:

后面其中两项展开,把T提出来

S那里可以数论分块,那么只要S后面那个东西可以筛出来,就可以O(sqrt(n))

发现后面的那部分可以狄利克雷卷积一波

这明显是一个积性函数,但是n有10^10,所以不能线筛

考虑使用杜教筛,令上述函数为f,函数S为f的前缀和

套用杜教筛模板式

现在问题就是选一个合适的g函数了

我们知道欧拉函数有一个卷积性质:

那么我们令g(x)=x^2

此时g与f的卷积变成了:

看起来真是赏心悦目

于是杜教筛的递推式变成了这样的:

一波记忆化搜索带走AC

Code:

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<map>
#define ll long long
using namespace std;
inline ll read(){
ll re=,flag=;char ch=getchar();
while(ch>''||ch<''){
if(ch=='-') flag=-;
ch=getchar();
}
while(ch>=''&&ch<='') re=(re<<)+(re<<)+ch-'',ch=getchar();
return re*flag;
}
ll n,MOD,inv2,inv6;
ll phi[],pri[],tot=;bool vis[];
void init(){
ll i,j,k;phi[]=;phi[]=;
for(i=;i<=;i++){
if(!vis[i]){
pri[++tot]=i;phi[i]=i-;
}
for(j=;j<=tot;j++){
k=i*pri[j];if(k>) break;
vis[k]=;
if(i%pri[j]==){
phi[k]=1ll*phi[i]*pri[j]%MOD;
break;
}
phi[k]=1ll*phi[i]*phi[pri[j]]%MOD;
}
}
for(i=;i<=;i++) phi[i]=(phi[i-]+1ll*i*i%MOD*phi[i]%MOD)%MOD;
}
ll sum1(ll x){x%=MOD;return x*(x+)%MOD*inv2%MOD;}
ll sum2(ll x){x%=MOD;return x*(x+)%MOD*((x<<)+)%MOD*inv6%MOD;}
map<ll,ll>m;
ll S(ll x){
if(x<=) return phi[x];
if(m[x]) return m[x];
ll re=sum1(x),tmp;re=re*re%MOD;ll i,j;
for(i=;i<=x;i=j+){
j=x/(x/i);
tmp=sum2(j)-sum2(i-);tmp=(tmp+MOD)%MOD;
re-=S(x/i)*tmp%MOD;re%=MOD;
}
return m[x]=(re+MOD)%MOD;
}
ll fpow(ll a,ll b){
ll re=;a%=MOD;
while(b){
if(b&) re=a*re%MOD;
b>>=;a=a*a%MOD;
}
return re;
}
int main(){
MOD=read();n=read();ll i,j;ll ans=,tmp,tt;
inv2=fpow(,MOD-);inv6=fpow(,MOD-);init();
for(i=;i<=n;i=j+){
j=n/(n/i);
tmp=sum1(n/i);
tmp=(tmp+MOD)%MOD;tmp=(tmp*tmp)%MOD;
tt=S(j)-S(i-);
tt=(tt+MOD)%MOD;
ans=(ans+tmp*tt%MOD)%MOD;
}
printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
}

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