记忆搜索与动态规划——DP背包问题

题目描述

01背包问题

有n个重量和价值分别为\(w_i,v_i\)的物品。从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值中总和的最大值。

限制条件

• 1 <= n <= 100
• 1 <= \(w_i,v_i\) <= 100
• 1 <= W <= 10000

样例输入

n = 4
(w,v) = {(2,3) (1,2) (3,4) (2,2)}
W = 5

样例输出

7（选择0，1，3号物品）

暴力求解

# include <iostream>
# include <algorithm>
using namespace std;

int n, W;
const int MAX_N = 10000;
int w[MAX_N], v[MAX_N];

int rec(int i, int j)
{
    int res;
    if (i == n)
    {
        res = 0;//在递归中，这也就相当于是循环的终止条件了

    }
    else if (j < w[i])//无法挑选物品
    {
        res = rec(i + 1, j);//采用递归的方法，对下一个物品进行挑选
    }
    else//挑选和不挑选都尝试一下
    {
        res = max(rec(i + 1, j), rec(i + 1, j - w[i]) + v[i]);
        //对于挑选的情况，因为采用了递归的方式，j 最为各个物品之间的和，每次当然要减去
        //挑选出来的满足条件的上一个物品的重量，并且对于挑选出的满足条件的物品的价值进行相加
    }
    return res;
}

void solve()
{
    printf("%d\n", rec(0, W));//从第0件物品开始挑选
}

int main()
{
    cin >> n;
    cout << "输入每个物品的重量";
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> w[i];
    }

    cout << "输入每个物品的价值";
    for (int i = 0; i < n; i++)
    {
        cin >> v[i];
    }
    cout << "输入不能超过的最大的重量";
    cin >> W;
    solve();

    return 0;
}

小结

• 对于这一段代码，rec(i + 1, j - w[i]) + v[i] 尤其是对于这个可以挑选的这一段代码
  的解释，想了一一下，一开始是有一个j 作为标准，从第i个物品开始挑选重量 小于j的物品，如果挑选出
  来一个这样的物品了，那么再挑选下一个物品的时候就必须要把前一个物品的重量减去，然后以这个新的
  “重量”来挑选下一个物品，为什么要这样做呢，原因很简单，因为是要求挑选出的物品总重量必须不能超过
  W 的物品的重量。当然了，对于没有挑选出来的，根本也就不存在价值的可能。不用相加。
• 对于递归其实在某种意义上市一种循环，只是循环的条件有所不同。