网络最大流(EK)

以前在oi中见到网络流的题都是直接跳过,由于本蒟蒻的理解能力太弱,导致网络流的学习不断推迟甚至被安排在了tarjan之后,原本计划于学习完最短路后就来学网络流的想法也随之破灭,在看完众多大佬

的博客后,我发现我不怎么能看懂(因为我自己太菜了),所以特来写一篇整理一下自己所学到的.

常见的网络流算法根据优化程度有FF<EK<Dinic<ISAP,由于后两种算法比较复杂,我至今也没有很好的理解,今天只要是我自己的一些对EK的理解.

首先需要了解一下什么是网络最大流:

网络流:所有弧上流量的集合f={f(u,v)},称为该容量网络的一个网络流.

• 定义：带权的有向图G=(V,E)，满足以下条件，则称为网络流图(flow network)：

  1. 仅有一个入度为0的顶点s，称s为源点
  2. 仅有一个出度为0的顶点t，称t为汇点
  3. 每条边的权值都为非负数，称为该边的容量，记作c(i,j)。

  弧的流量:通过容量网络G中每条弧< u,v>,上的实际流量(简称流量),记为f(u,v);

网络流具有以下性质:

1.边所容纳的流量<=该边的最大容量.

2.反对称性,即f[u][v]=-f[v][u].

3.从源点流出的流量总是等于汇点汇聚的流量,对于其他的普通点来说,入度来的流量和等于出度出去的流量和.

最大网络流:网络流量图G中,最大的可行流称为网络最大流

我们定义：
源点：只有流出去的点
汇点：只有流进来的点
流量：一条边上流过的流量
容量：一条边上可供流过的最大流量
残量：一条边上的容量-流量

增广路:找到一条从源点到汇点的路径，使得路径上任意一条边的残量>0（注意是大于而不是大于等于，这意味着这条边还可以分配流量），这条路径便称为增广路

EK:不断找到一条起点到终点的路径，若有，找出这条路径上每一条边的最小值，然后将这条路上的每一条正向边减去这条路的流量，再在这条路上的每一条反向边加上这条边的流量，再在剩下的图上寻找新的路径，使总流量增加。然后形成新的图，再寻找新路径…..直到找不到从起点到终点的路径为止，最大流就算出来了。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int st[],vis[],n,m,s,flow[],maxflow,t,x,y,z,tot=-,pre[],q[];
struct node
{
    int from,to,val,last;
/*
from记录起点
to记录重点
val记录这条边的流量
last记录起点和当前这条边的起点一样的边的序号
*/
}e[];
int mn(int x,int y)
{
    if(x>y)
        return y;
    return x;
}
void add(int f,int t,int v)
{//链式前向星
    tot++;//当前这条边的序号
    e[tot].from=f;
    e[tot].to=t;
    e[tot].val=v;
    e[tot].last=st[f];
    st[f]=tot;
    return ;
}
bool bfs(int s,int m)//寻找从起点到终点的路径
{
    int t=,h=;
    for(int i=;i<=n;i++)
    {
        vis[i]=-;//一开始把所有的点（包括起点和终点）标志为没有走过
        pre[i]=-;//记录上一条到达i点的边的起点的编号
    }
    t++;
    q[t]=s;//将起点入队
    vis[s]=;
    flow[s]=;
    while(t>=h)
    {
        int u=q[h];//拿出队首
        vis[u]=;//当前的队首标志为不在队列里
        h++;//踢出队首
        for(int i=st[u];i!=;i=e[i].last)
        {
            int v=e[i].to;
            if(e[i].val!= && vis[v]==-)//如果当前遍历到的点不在队列里（避免重复入队）就入队
            {
                flow[v]=mn(flow[u],e[i].val);//更新这条路径的流量（比较，求出最小值）
                pre[v]=i;//编号为i的这条边到达了v点，更新pre[v]
                t++;//入队
                q[t]=v; //将
                vis[v]=u;
            }
        }
    }
    if(vis[m]!=-)//从当前点s可以走到点m
        return true;
    return false;//如果运行到了这里，说明再也找不到从起点到终点的路了
}
void update(int s,int t)//一个回溯过程
{//如果能进这个函数，说明从当前点s可以走到点t
    int now=t;//从终点往回查找
    while(now!=s)//如果当前回溯到的点不是起点
    {//继续找
        int i=pre[now];
        e[i].val-=flow[t];//正向边加上这条边的流量
        e[i^].val+=flow[t];//建反向边，减去这条边的流量
        now=e[i].from;//更新当前回溯到的点
    }
    maxflow+=flow[t];//加上当前这条边的流量
}
void EK(int s,int t)
{
    maxflow=;//重置最大流
    while(bfs(s,t)==true)//如果当前找得到一条从起点到终点的路
        update(s,t);//加上这条路的流量
}
int main()
{
    scanf("%d %d %d %d",&n,&m,&s,&t);
    for(int i=;i<=m;i++)
    {
        scanf("%d %d %d",&x,&y,&z);
        add(x,y,z);//建正向边
        add(y,x,);//建反向边
    }
    EK(s,t);//求最大流
    printf("%d",maxflow);//输出
    return ;
}