第31届IMO 第2题

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题目

设n>=3，考虑一个圆上由2n-1个不同点构成的集合E。现给E中恰好k个点染上黑色，如果至少有一对黑点使得这两个黑点之间的弧上（两段弧中的某一个）包含恰好E中的n个点，就成这样的染色方法是“好的”。

试找出对于集合E能保证任意一种染色方法都是“好的”的最小的k值。

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解答

将问题转化为：一个圆上有2n-1个点，一开始都是白色的，将点一个一个染色，染的点必须满足染色方法是“好的”，分析易知，每染一个点，剩下的点里可以染的点的个数-2或-1或-0，我们想找的最小的k值，就是  能染的最多的点+1，这样的话染K个点必然会满足条件。

思考如何才能染最多的点，染色策略如下：染那些可以让染的点减少最少的点。例如，染A点后，剩下的点里可以染的点数目-2；染B点后，剩下的点里可以染的点数目-1；染C点后，剩下的点里可以染的点数目-0；那么就染C点。

这样染色的原因很简单，只要能保证每次都是染那些“损耗”最小的点，那么就可以染最多的点。 但是可能会有一种例外：先染一个-2的点，可能之后会出现两个-0的点，这样就会出现一共染了3个点，但是损耗-2，如果“损耗”最小的点都是-1的话，那么染3个点，损耗-3，即染了相同的点，剩下的点里可以染的点少了，如果这种情况存在的话，那么我们的策略就不对了，但是，这种情况是不存在的，下面给出证明。

先证明-0的点一定是由-2的点得到的：用反证法，假设不是，那么就会得到有无穷个点的结论，得到矛盾。

对染了-2的点经过一系列变化再染-0点这个过程进行分析，该过程可等价为-1····-1，即对于-2，-0，可以看作-1，-1，那么如果存在-2，-0，-0,那么就存在-1，-1，-0，而-1，-1，-0是符合我们的染色策略的，所以我们的策略没问题。

知道了染色策略就要求k值了，我们可以先画一个圆，再随便染一个点，此时剩下的点里的损耗-2的，然后利用我们的策略进行染色，在分析的过程中，会出现第一个点对应的损耗点与第一个点的间隔为3的倍数和非3的倍数两种情况，对于第一种情况（2n-1是3的倍数），k=(（2n-1）/3-1)/2 ×3 +1 =n-1，或者 k=((（2n-1）/3-3)/2+1)×3+1=n-1；对于第二种情况（2n-1不是3的倍数），进行简单的画图模拟，可以得到 k=（2n-1 -3）/2+1+1=n