hdu多校第二场 1005 （hdu6595） Everything Is Generated In Equal Probability

题意：

给定一个N，随机从[1,N]里产生一个n，然后随机产生一个n个数的全排列，求出n的逆序数对的数量，加到cnt里，然后随机地取出这个全排列中的一个非连续子序列（注意这个子序列可以是原序列），再求出这个子序列的逆序数对，加到cnt里，重复这个过程，直到最后取出的为空。

题解：

先不考虑第一步随机从[1,N]里产生一个n，只考虑n给定的情况，求出了f[n],那么最后的结果就是

$  ans[N]=\frac{\sum_{n=1}^N f[n]}{N} $

赛时和队友利用找规律法和暴力模拟法推出

$ f[i]=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2i}{3} $

下面给出证明：

因为任意一个长度为n的全排列，其所含的逆序对的期望为

$ \binom{n}{2}/2 $ （不难理解，就是随便取两个点交换一下就出来一个逆序对）

而取出的那一个非连续子序列，我们把它里面的数字离散化以后也是一个全排列，所以

$ f[i]=\binom{n}{2}/2+\frac{1}{2^i}\sum_{j=0}^i\binom{i}{j}f[j] $

移项，得到递推公式

$ f[i]=\frac{2^{i-1}}{2^i-1}\binom{n}{2}/2+\frac{1}{2^i-1}\sum_{j=0}^{i-1}\binom{i}{j}f[j] $

f[1]=0，不难推出通项公式

$ f[i]=\sum_{i=1}^{n-1}\frac{2i}{3} $

代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <string>
#include <vector>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
#include <queue>
#include <stack>
const int MOD = ;
#define rep(i,n,m) for(int i=n;i<=m;++i)
const double eps = 1e-;
#define ll long long
using namespace std;
const int maxn = ;
const int maxm = 2e5 + ;
const int inf =  << ;
typedef pair<int, int> P;
#define zero(a) fabs(a)<eps
inline int read()
{
    int x = , f = ;
    char ch = getchar();
    while (ch < '' || ch > '')
    {
        if (ch == '-')
            f = -;
        ch = getchar();
    }
    while (ch >= '' && ch <= '')
    {
        x =  * x + ch - '';
        ch = getchar();
    }
    return x * f;
}

ll quick_mod(ll x, ll n) {
    ll res = ;
    while (n) {
        if (n & ) res = res * x % MOD;
        x = x * x % MOD;
        n = n >> ;
    }
    return res;
}
ll a[];
void init()
{
    a[] = a[] = ;
    a[] = ;
    for (int i = ; i <= ; ++i)
        a[i] = a[i - ] + (i - ) * ;
    for (int i = ; i <= ; ++i)
        a[i] += a[i - ];
}
int main()
{
    ll n;
    init();
    while (~scanf("%lld", &n))
    {
        if (n == ) { cout << "" << endl; continue; }
        ll a1 = a[n];
        ll b =  * n;
        ll x = quick_mod(b, MOD - );
        cout << a1 % MOD * x % MOD<<endl;
    }
}