bzoj 4500: 矩阵 差分约束系统

题目:

Description

有一个n*m的矩阵，初始每个格子的权值都为0，可以对矩阵执行两种操作：

1. 选择一行， 该行每个格子的权值加1或减1。
2. 选择一列， 该列每个格子的权值加1或减1。
   
   现在有K个限制，每个限制为一个三元组(x,y,c)，代表格子(x,y)权值等于c。
   
   问是否存在一个操作序列，使得操作完后的矩阵满足所有的限制。如果存在输出”Yes”，否则输出”No”。

题解:

如果我们将所有的行作为变量\(x\),所有的列作为变量\(y\).

变量本身代表对这行(列)进行的操作数(x,y可以为负)

所以对于每一个三元限制我们可以列出方程\(x_i + y_i = c_i\)

然后我们移项得到\(x_i - c_i = y_i\)

这样我们可以依据这个等式列出两个不等式:

• $ x_i - c_i \leq y_i $
• $ y_i - (-c_i) \leq x_i $

然后我们建立差分约束系统,dfs判正环即可.

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline void read(int &x){
    x=0;char ch;bool flag = false;
    while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true;
    while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x;
}
const int maxn = 2048;
const int maxm = 1024*1024;
struct Edge{
    int to,next,dis;
}G[maxm];
int head[maxn],cnt;
void add(int u,int v,int d){
    G[++cnt].to = v;
    G[cnt].next = head[u];
    head[u] = cnt;
    G[cnt].dis = d;
}
int dis[maxn];bool inq[maxn];
inline void init(){
    memset(head,0,sizeof head);
    memset(dis,-0x3f,sizeof dis);
    memset(inq,false,sizeof inq);
    cnt = 0;
}
#define v G[i].to
bool dfs(int u){
    inq[u] = true;
    for(int i = head[u];i;i=G[i].next){
        if(dis[v] < dis[u] + G[i].dis){
            dis[v] = dis[u] + G[i].dis;
            if(inq[v]) return false;
            if(!dfs(v)) return false;
        }
    }
    inq[u] = false;
    return true;
}
#undef v
int x[maxn],y[maxn],c[maxn];
int work(){
    init();
    int n,m,k;read(n);read(m);read(k);
    for(int i=1;i<=k;++i) read(x[i]),read(y[i]),read(c[i]);
    for(int i=1;i<=k;++i){
        for(int j=1;j<=k;++j){
            if(x[i] == x[j] && y[i] == y[j] && c[i] != c[j]) return puts("No");
            if(x[i] == x[j] && y[i] == y[j]) continue;
            if(x[i] == x[j] && c[i] - c[j] >= 0){
                add(y[j]+n,y[i]+n,c[i]-c[j]);
                add(y[i]+n,y[j]+n,c[j]-c[i]);
            }
            if(y[i] == y[j] && c[i] - c[j] >= 0){
                add(x[j],x[i],c[i]-c[j]);
                add(x[i],x[j],c[j]-c[i]);
            }
        }
    }
    for(int i=1;i<=n+m;++i) if(!dfs(i)) return puts("No");
    return puts("Yes");
}
int main(){
    int T;read(T);
    while(T--) work();
    getchar();getchar();
    return 0;
}