Heine-Borel定理

前：开始学数学。。来写写理解和补充吧。。
书：M.A.Armstrong著《Basic Topology》
Heine-Borel定理：实轴上闭区间是紧集。

证法(1)延伸法：

思想 闭区间S=[a,b]内上升点列在S内有极限点；我们考虑被有限个开集覆盖的点的上确界q.由于q in S,存在开集t覆盖q的一个邻域,若q < b则存在点p > q in t也可以被有限个点覆盖,则q=b,同时说明S是紧的.

(2)细分法:

反证，我们二分区间。假设S=[a,b]非紧，取它的一个开覆盖P，那么[a,(a+b)/2]与[(a+b)/2,b]中必有无法有限P覆盖的，递归下去做我们可以得到一系列非紧集序列S1>S2>S3>S4>...，每个的区间长度是原先的一半。这个非紧集序列收敛于一点q,存在e in P使q in e,这样存在U(q,eps) subst e,而我们知道这个区间长度可以无限小，显然若是小于eps则这个区间被这个开集覆盖，和假设矛盾，则S是紧集。