BZOJ 2735: 世博会 主席树+切比雪夫距离转曼哈顿距离

2735: 世博会

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Description

四年一度的世博会又要举办了，Q国很荣幸成为了这次世博会的主办方。Q国主席QQ从全国各地收集了N件物品排成

一排，作为Q国馆的展出物。对于相邻摆放的一些物品，如果过于相似会让人觉得无聊，如果差别过大又会让人觉

得突兀。为了让人们对这次世博会的展出满意，QQ需要知道一些相邻物品的“差异度”。为了方便表示，QQ给每个

物品都定义了两个属性值A、B，两件物品之间的“绝对差异值”定义为它们对应属性的差的绝对值较大的一个。对

于一些物品的“差异度”，类似求方差的方法，QQ总会首先设想一个理想的“平均物品”，它的两个属性可以为任

意实数，且它与这些物品中的每个物品的“绝对差异值”之和最小。而这些物品的“差异度”就定义为这个最小的

和。QQ每次会询问：从第Li个到第Ri个物品的“差异度”是多少。现在，这个任务交给了神犇你。

Input

第一行两个整数N和Q，表示物品数和QQ的询问数。第二行N个整数A1到An，表示每个物品的A属性。第三行N个整数B

1到Bn，表示每个物品的B属性。之后Q行每行两个整数Li Ri，表示QQ的询问。

1<=N<=100000, 1<=Q<=100000, |Ai|,|Bi|<=1000000000,1<=Li<=Ri<=N

Output

共Q行，每行输出一个数，表示该次询问的物品的差异度，结果保留到小数点后两位。

Sample Input

4 2
1 6 -3 2
2 7 -1 3
1 4
2 3

Sample Output

10.00
9.00
样例说明
对于第一个询问，平均物品的两个属性可以是1和2差异度为max(0,0)+max(5,5)+max(4,3)+max(1,1)=10对于第二个
询问，平均物品的两个属性可以是6和7差异度为max(0,0)+max(9,8)=9

 

Solution

题意：每次询问要你给出$(A_0,B_0)$，最小化$\sum_{i=L}^{R} max{|A_i-A_0|,|B_i-B_0|} $。

 

先来点干货：

• 切比雪夫距离：每一维差绝对值的最大值  $max\{|x_i-x_j|,|y_i-y_j|\}$
  

• 曼哈顿距离：每一维差绝对值之和 $|x_i-x_j|+|y_i-y_j|$
  

• 二维切比雪夫距离转曼哈顿距离：把坐标系旋转一下，然后再拉伸下。$(x,y)->(\frac{1}{2}(x-y),\frac{1}{2}(x+y))$

想法：将(A,B)当成二维坐标。然后再转换为(A-B,A+B)。问题变成最小化$\sum_{i=L}^{R} {|A_i-A_0|+|B_i-B_0|} $。每一维是独立的，并且每一维选中位数是最优的之一。所以用主席树维护一下查第K大，前\后缀和。

Code $O(n \log n)$

#include < cstdio >
#include < algorithm >

#define gec     getchar
#define FILE(F) freopen(F".in","r",stdin),freopen(F".out","w",stdout)
#define DEBUG   fprintf(stderr,"Passing [%s] in Line (%d)\n",__FUNCTION__,__LINE__)

typedef long long ll;
template < typename T >
inline void read(T &x)
{
	x=0;bool f=0; char c=gec();
	for(;c<'0'||c>'9';c=gec())f=(c=='-');
	for(;c>='0'&&c<='9';c=gec())x=x*10+c-'0';
	x=f?-x:x;
}

const int MAXN(100010);
int n,q,A[MAXN],B[MAXN],X[MAXN],Y[MAXN];

struct AXLE
{
	int a[MAXN],up;
	void ins(int x){a[++up]=x;}
	void build()
	{
		std::sort(a+1,a+1+up);
		int _up=1;
		for(int i=2;i<=up;i++)if(a[i]!=a[i-1])a[++_up]=a[i];
		up=_up;
	}
	int Find(int x)
	{
		int l=1,r=up,mid,id=1;
		while(l<=r)if(a[mid=(l+r)>>1]<=x)l=mid+1,id=mid;else r=mid-1;
		return id;
	}
}axle;

namespace ChairMan_Tree
{
	const int MAX_L(2000010);
	struct CMT
	{
		int nx[MAX_L][2],Siz[MAX_L]; 	 ll Sum[MAX_L];
		int root[MAXN],stot,Val[MAXN],N;

		void update(int k)
		{Sum[k]=Sum[nx[k][0]]+Sum[nx[k][1]];
		 Siz[k]=Siz[nx[k][0]]+Siz[nx[k][1]];}

		void modfiy(int&k,int k2,int L,int R,int x)//val[x]++;
		{
			if(!k)k=++stot,Sum[k]=Sum[k2],Siz[k]=Siz[k2];
			if(L==R){Sum[k]+=Val[x];Siz[k]++; return ;}
			int MID=(L+R)>>1;
			if(x<=MID)modfiy(nx[k][0],nx[k2][0],L,MID,x),nx[k][1]=nx[k2][1];
			else 	modfiy(nx[k][1],nx[k2][1],MID+1,R,x),nx[k][0]=nx[k2][0];
			update(k);
		}

		ll Que(int k1,int k2,int Rank)//查询区间第K大以及前\后缀和
		{
			int L=1,R=N,MID,Siz_L=0,Siz_R=0;
			ll Sum_L=0,Sum_R=0;
			while(L!=R)
			{
				MID=(L+R)>>1;
//				fprintf(stderr,"%d %d %d\n",L,R,Rank);
//				fprintf(stderr,"%d\n",Siz[nx[k1][0]]-Siz[nx[k2][0]]);
				if(Siz[nx[k1][0]]-Siz[nx[k2][0]]<Rank)
				Siz_L+=Siz[nx[k1][0]]-Siz[nx[k2][0]],Sum_L+=Sum[nx[k1][0]]-Sum[nx[k2][0]],
//				fprintf(stderr,"%d %d %lld\n",L,MID,Sum[nx[k1][0]]-Sum[nx[k2][0]]),
				L=MID+1,Rank-=Siz[nx[k1][0]]-Siz[nx[k2][0]],k1=nx[k1][1],k2=nx[k2][1];
				else
				Siz_R+=Siz[nx[k1][1]]-Siz[nx[k2][1]],Sum_R+=Sum[nx[k1][1]]-Sum[nx[k2][1]],
				R=MID,k1=nx[k1][0],k2=nx[k2][0];
			}
//			fprintf(stderr,"%lld %d %lld %d %d %d\n",Sum_L,Siz_L,Sum_R,Siz_R,L,Val[L]);
			return (ll)Siz_L*Val[L]-Sum_L+Sum_R-(ll)Siz_R*Val[L];
		}

	}A_Tree,B_Tree;

}using namespace ChairMan_Tree;

void Pretreat()
{
	for(int i=1;i<=n;i++)axle.ins(A[i]); axle.build();
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=axle.Find(A[i]);
	A_Tree.N=axle.up; for(int i=1;i<=A_Tree.N;i++)A_Tree.Val[i]=axle.a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)A_Tree.modfiy(A_Tree.root[i],A_Tree.root[i-1],1,A_Tree.N,A[i]);
	axle.up=0;
	for(int i=1;i<=n;i++)axle.ins(B[i]); axle.build();
	for(int i=1;i<=n;i++)B[i]=axle.Find(B[i]);
	B_Tree.N=axle.up; for(int i=1;i<=B_Tree.N;i++)B_Tree.Val[i]=axle.a[i];
	for(int i=1;i<=n;i++)B_Tree.modfiy(B_Tree.root[i],B_Tree.root[i-1],1,B_Tree.N,B[i]);
}

int main()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	FILE("C");
#endif
	read(n);read(q);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(X[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)read(Y[i]);
	for(int i=1;i<=n;i++)A[i]=X[i]-Y[i],B[i]=X[i]+Y[i];
	Pretreat();
	for(int i=1,L,R;i<=q;i++)
	{
		read(L);read(R);
		ll Ans_A=A_Tree.Que(A_Tree.root[R],A_Tree.root[L-1],(R-L+2)>>1);
		ll Ans_B=B_Tree.Que(B_Tree.root[R],B_Tree.root[L-1],(R-L+2)>>1);
		printf("%.2lf\n",(Ans_A+Ans_B)*0.5);
	}
	return 0;
}