题意:求最大的正整数 \(x\) ,使 \(x \mid p且q \nmid x\) 。

首先,当 \(q \nmid p\) ,显然取 \(x=p\) 是最优解。

现在,我们考虑 \(q \mid p\) 的情况。

考虑对 \(q\) 分解质因数,设 \(q=p_1^{a_1} \times p_2^{a_2}\times \cdots \times p_n^{a_n}\) 。

那么,\(x\) 不为 \(q\) 的倍数,当且仅当 \(\exists i\),使得 \(x\) 分解质因数后 \(p_i\) 的次数 \(< a_i\) 。

我们可以枚举每个 \(p_i\) ,使 \(x\) 分解质因数后 \(p_i\) 的次数为 \(a_i-1\) ,其他全部拉满即可。

也就是说,设 \(t\) 是 \(p\) 被 \(p_i\) 除尽后剩下的数,则最优解是 \(p_i^{a_i-1} \times t\) 。

最后在这些备选最优解中取 \(\max\) 即可。

Code:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstring>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100010;
ll T,p,q,pr[N],cnt,vis[N];
void pre(int lim){
for(int i=2;i<=lim;i++){
if(!vis[i]){
vis[i]=1;pr[++cnt]=i;
for(int j=i;j<=lim/i;j++) vis[i*j]=1;
}
}
} int main(){
scanf("%d",&T);pre(N-1);
while(T--){
scanf("%lld%lld",&p,&q);
if(p%q!=0) cout<<p<<endl;
else{
ll ans=1,tmp=q;
for(int i=1;i<=cnt;i++){
ll cs=0,res=1;
while(tmp%pr[i]==0) tmp/=pr[i],cs++,res*=pr[i];
if(!cs) continue;//cs即为上文提到的a_i
res/=pr[i];//res=pr[i]^(a_i-1)
if(p%res==0){
ll tmp1=p;while(tmp1%pr[i]==0) tmp1/=pr[i];
ans=max(ans,res*tmp1);
}
}
if(tmp>1){//如果tmp还有残余,说明tmp本身是个质数
ll res=1;
//res肯定为1,不用算了
if(p%res==0){
ll tmp1=p;while(tmp1%tmp==0) tmp1/=tmp;
ans=max(ans,res*tmp1);
}
}
cout<<ans<<endl;
}
}
return 0;
}

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