【题解】AcWing 193. 算乘方的牛

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题目描述

约翰的奶牛希望能够非常快速地计算一个数字的整数幂P（1 <= P <= 20,000）是多少，这需要你的帮助。

在它们计算得到最终结果的过程中只能保留两个工作变量用于中间结果。

第一个工作变量初始化为x，第二个工作变量初始化为1。

奶牛可以将任意一对工作变量相乘或相除（可以是一个工作变量与自己相乘或相除），并将结果储存在任意一个工作变量中，但是所有结果都只能储存为整数。

举个例子，如果它们想要得到x的31次方，则得到这一结果的一种执行方法如下所示：

                                        工作变量1  工作变量2

                                  开始 :   x        1

 工作变量1与本身相乘，结果置于工作变量2:   x        x^2

 工作变量2与本身相乘，结果置于工作变量2:   x        x^4

 工作变量2与本身相乘，结果置于工作变量2:   x        x^8

 工作变量2与本身相乘，结果置于工作变量2:   x        x^16

 工作变量2与本身相乘，结果置于工作变量2:   x        x^32

工作变量2除以工作变量1，结果置于工作变量2： x x^31

因此，x的31次方经过六个操作就可得到。

现在给出你希望求得的具体次幂数，请你计算至少需要多少个操作才能得到。

输入格式

输入包含一个整数P，表示具体次幂数。

输出格式

输出包含一个整数，表示所需最少操作数。

数据范围

1≤P≤20000

样例

输入样例：
31
输出样例：
6

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算法1 迭代加深IDA*

剪枝:

1.首先容易考虑到：负数和零是不够优秀的。减去负数等效于加上正数，加上负数等效于减去正数，这样可以避免讨论多余的状态；而除了初始状态外，出现零是没有用的：因为这样相当于只有一个数可供操作。这样一定不会比这个非零的数与另一个非零的数合起来更优。

因此，除法操作时，总是用次数的多的除以次数少的，不使用自己除以自己的操作。乘法操作后，不保留0。

2.在当前深度限制下，如果剩下的步骤全部都把较大的数扩大为两倍还是比目标状态小，显然剪枝。

3.对于当前存储器中次数(a,b)，设gcd(a,b)=d，那么不管之后怎么操作，得到的次数一定会是d的倍数。因此，如果不满足d|P，那么剪掉。

参考文献

https://blog.csdn.net/rgnoH/article/details/78469464

C++ 代码

#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
int p,depth=0;

int gcd( int a,int b )
{
	if ( !b ) return a;
	return gcd( b,a%b );
}

bool IDAstar( int sum,int x,int y )
{
	if ( sum==depth )
	{
		if ( x==p ) return 1;
		else return 0;
	}
	if ( x<<(depth-sum)<p ) return 0;
	if ( p%(gcd(x,y))!=0 ) return 0;

	int a,b;

	a=x+y; b=y;
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=x+y; b=x;
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=x+x; b=y;
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=x+x; b=x;
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=y+y; b=x;	if ( a<b ) swap( a,b );
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=y+y; b=y;
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=x-y; b=x; if ( a<b ) swap( a,b );
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;
	a=x-y; b=y; if ( a<b ) swap( a,b );
	if ( b && IDAstar( sum+1,a,b ) ) return 1;

	return 0;
}

int main()
{
	scanf( "%d",&p );

	while ( !IDAstar( 0,1,0 ) ) depth++;

	printf( "%d",depth );
}