bzoj 1951 lucas crt 费马小定理

首先假设输入的是n,m

我们就是要求m^(Σ(c(n,i) i|n)) mod p

那么根据费马小定理，上式等于

m^(Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)) mod p

那么问题的关键就是求 Σ(c(n,i) i|n) mod  (p-1)了

那么如果P是素数的话，我们可以用lucas定理来快速求出来组合数，这道题的p-1是

非素数，那么我们分解质因数pi，假设c(n,i) i|n为X，那我们求出来X mod pi=ai，这个是

符合lucas定理的，那么我们可以得到质因子数个式子（本题有4个质因子），然后我们用

中国剩余定理合并这4个式子就行了

/**************************************************************
    Problem:
    User: BLADEVIL
    Language: Pascal
    Result: Accepted
    Time: ms
    Memory: kb
****************************************************************/
 
//By BLADEVIL
const
    d39                     =;
    pp                      :array[..] of longint=(,,,);
     
var
    n, m, k                 :int64;
    cc                      :int64;
    a                       :array[..] of int64;
    i                       :longint;
    fac                     :array[..] of int64;
     
function ex_gcd(a,b:int64):int64;
var
    z                       :int64;
begin
    if b= then
    begin
        ex_gcd:=;
        cc:=;
        exit;
    end else
    begin
        z:=ex_gcd(b,a mod b);
        ex_gcd:=cc;
        cc:=z-(a div b)*cc;
    end;
end;   
 
function gcd(a,p:int64):int64;
begin
    gcd:=ex_gcd(a,p);
    gcd:=(gcd mod p+p) mod p;
end;
     
function combine(a,b,p:int64):int64;
var
    ans1, ans2              :int64;
    i                       :longint;
begin
    ans1:=fac[a] mod p;
    ans2:=(fac[a-b]*fac[b]) mod p;
    ans2:=gcd(ans2,p);
    combine:=ans1*ans2 mod p;
end;
     
function lucas(x,y,p:int64):int64;
var
    a, b                    :int64;
begin
    if y= then exit();
    a:=x mod p;
    b:=y mod p;
    if a<b then exit() else lucas:=lucas(x div p,y div p,p)*combine(a,b,p);
end;   
 
function crt:int64;
var
    i                       :longint;
begin
    crt:=;
    for i:= to  do
        crt:=(crt+a[i]*((d39-) div pp[i])*gcd((d39-) div pp[i],pp[i])) mod (d39-);
end;
 
function get(x:int64):int64;
var
    i, j                    :longint;
begin
        for i:= to trunc(sqrt(x)) do
        begin
            if x mod i= then
            begin
                for j:= to  do
                begin
                    a[j]:=(a[j]+lucas(x,i,pp[j])) mod pp[j];
                    if x div i<>i then a[j]:=(a[j]+lucas(x,x div i,pp[j])) mod pp[j];
                end;
            end;
        end;
    get:=crt;
end;
 
function mi(n,k,p:int64):int64;
var
    sum                     :int64;
begin
    mi:=;
    sum:=n;
    while k<> do
    begin
        if k mod = then mi:=mi*sum mod p;
        sum:=sum*sum mod p;
        k:=k div ;
    end;
end;
 
begin
    fac[]:=;
    for i:= to pp[] do fac[i]:=fac[i-]*int64(i) mod (d39-);
    read(n,m);
    if m mod d39= then
    begin
        writeln();
        halt;
    end;
    k:=get(n);
    writeln(mi(m,k,d39));
end.