#3145. 「APIO 2019」桥梁

题目描述

圣彼得堡市内所有水路长度总和约 282 千米，市内水域面积占城市面积的 7%。——来自维基百科

圣彼得堡位于由 $m$ 座桥梁连接而成的 $n$ 个岛屿上。岛屿用 $1$ 到 $n$ 的整数编号，桥梁用 $1$ 到 $m$ 的整数编号。每座桥连接两个不同的岛屿。有些桥梁是在彼得大帝时代建造的，其中一些是近期建造的。这导致了不同的桥梁可能有不同的重量限制。更具体地，只有重量不超过 $d_i$ 的汽车才能通过第 $i$ 座桥梁。有时圣彼得堡的一些桥梁会进行翻新，但这并不一定会使桥梁承重变得更好，也就是说，进行翻新的桥梁的 $d_i$ 可能会增加或减少。你准备开发一个产品，用于帮助公民和城市客人。目前，你开发的模块要能执行两种类型的操作：

\1. 将桥梁 $b_j$ 的重量限制改为 $r_j$。

\2. 统计一辆重为 $w_j$ 的汽车从岛屿 $s_j$ 出发能够到达多少个不同的岛屿。

请你回答所有第二种操作的答案。

输入格式

第一行包含两个整数 $n$ 和 $m$——表示圣彼得堡的岛屿数量与桥梁数量。

接下来 $m$ 行，每行三个整数 $u_i, v_i, d_i$。第 $i$ 行的整数描述了一座连接岛屿 $u_i$ 和 $v_i$，初始时重量限制为 $d_i$ 的桥梁。

接下来一行一个整数 $q$——表示操作的数量。

接下来 $q$ 行按顺序每行描述一个操作。

每行第一个整数 $t_j$ 表示操作类型：

- 若 $t_j = 1$，则该操作是第一种类型，该行接下来给定两个整数 $b_j$ 和 $r_j$，表示桥梁 $b_j$ 的重量限制将变为 $r_j$。

- 若 $t_j = 2$，则该操作是第二种类型，该行接下来给定两个整数 $s_j$ 和 $w_j$，表示一辆重为 $w_j$ 的汽车将要从第 $s_j$ 个岛屿出发。

输出格式

对于每个第二种类型的询问，输出一行一个整数表示答案。

数据范围与提示

对于全部数据，$1\le n\le 5\times 10^4,0\le m\le 10^5,1\le q\le 10^5$。保证 $1\le u_i,v_i,s_j\le n,u_i\not =v_i,1\le d_i,r_j,w_j\le 10^9,1\le b_j\le m,t_j\in\{1,2\}$。

我们把一次修改视作产生了两条不同的边，每条边都有一个存在的时间。

将操作序列分块，对每个块内的询问分别处理。将询问的$w$升序排列，将出现在这个块之前，并且在这个块之后再消失的边按$w$排序。依次处理询问时，依次加入这些边，用路径压缩的并查集。每一次询问时，对于结束时间在这个块内的边，我们暴力判断是否要加入，询问了之后再撤销。这部分用按秩合并的并查集。

复杂度$O(m\sqrt{mlog(n)})$

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 100005

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,q;

const int blk=600;

int bel[N];

struct edge {

	int x,y,w;

	int l,r;

	bool operator <(const edge &a)const {return w>a.w;}

}e[N<<1];

bool cmpe(int a,int b) {

	return e[a].w>e[b].w;

}

int etot;

int lst[N];

int op[N];

int E[N],pos[N],w[N];

vector<int>que[N/blk+5];

bool cmp(int a,int b) {return w[a]>w[b];}

int fa[N],size[N],dep[N];

int Getf(int v) {return v==fa[v]?v:fa[v]=Getf(fa[v]);}

int Getf2(int v) {

	while(v!=fa[v]) v=fa[v];

	return v;

}

void Merge(int a,int b) {

	a=Getf(a),b=Getf(b);

	if(a==b) return ;

	fa[a]=b;

	size[b]+=size[a];

}

void Init() {for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,size[i]=1,dep[i]=1;}

vector<int>tem;

int L[N],R[N];

struct node {

	int x,size,dep;

	node() {}

	node(int _x,int _size,int _dep) {x=_x,size=_size,dep=_dep;}

};

vector<node>undo;

vector<int>st,st2;

int ans[N];

void Merge(vector<int>&a,vector<int>&b) {

	static vector<int>st;

	st.clear();

	int ta=0,tb=0;

	while(ta!=a.size()||tb!=b.size()) {

		if(ta==a.size()) st.push_back(b[tb]),tb++;

		else if(tb==b.size()) st.push_back(a[ta]),ta++;

		else if(e[a[ta]].w>e[b[tb]].w) st.push_back(a[ta]),ta++;

		else st.push_back(b[tb]),tb++;

	}

	a.clear();

	for(int i=0;i<st.size();i++) a.push_back(st[i]);

}

int main() {

	n=Get(),m=Get();

	for(int i=1;i<=m;i++) {

		e[i].x=Get(),e[i].y=Get(),e[i].w=Get();

	}

	q=Get();

	for(int i=1;i<=m;i++) {

		lst[i]=i;

		e[i].l=1,e[i].r=q;

	}

	etot=m;

	int x,y;

	for(int i=1;i<=q;i++) {

		op[i]=Get();

		x=Get(),y=Get();

		if(op[i]==1) {

			E[i]=++etot;

			e[E[i]]=e[lst[x]];

			e[E[i]].w=y;

			e[lst[x]].r=i-1;

			e[E[i]].l=i;

			e[E[i]].r=q;

			lst[x]=etot;

		} else {

			pos[i]=x,w[i]=y;

		}

	}

	sort(e+1,e+1+m);

	for(int i=1;i<=m;i++) if(e[i].r) st.push_back(i);

	for(int i=1;i<=q;i++) bel[i]=(i-1)/blk+1;

	for(int i=1;i<=bel[q];i++) L[i]=(i-1)*blk+1,R[i]=min(q,i*blk);

	for(int i=1;i<=q;i++) if(op[i]==2) que[bel[i]].push_back(i);

	for(int i=1;i<=bel[q];i++) {

		sort(que[i].begin(),que[i].end(),cmp);

		Init();

		tem.clear();

		for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) tem.push_back(E[j]);

		int tag=0;

		for(int j=0;j<que[i].size();j++) {

			int now=que[i][j];

			while(tag<st.size()&&e[st[tag]].w>=w[now]) {

				if(e[st[tag]].r>=R[i]) {

					Merge(e[st[tag]].x,e[st[tag]].y);

				} else if(e[st[tag]].r>=L[i]) tem.push_back(st[tag]);

				tag++;

			}

			for(int k=0;k<tem.size();k++) {

				int x=e[tem[k]].x,y=e[tem[k]].y;

				Getf(x),Getf(y);

			}

			undo.clear();

			for(int k=0;k<tem.size();k++) {

				int id=tem[k];

				if(e[id].l<=now&&now<=e[id].r&&e[id].w>=w[now]) {

					int x=Getf2(e[id].x),y=Getf2(e[id].y);

					if(x==y) continue ;

					undo.push_back(node(x,size[x],dep[x]));

					undo.push_back(node(y,size[y],dep[y]));

					if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);

					fa[x]=y;

					size[y]+=size[x];

					if(dep[x]==dep[y]) dep[y]++;

				}

			}

			ans[now]=size[Getf2(pos[now])];

			while(undo.size()) {

				node a=undo.back();

				undo.pop_back();

				fa[a.x]=a.x;

				size[a.x]=a.size;

				dep[a.x]=a.dep;

			}

		}

		st2.clear();

		for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) st2.push_back(E[j]);

		sort(st2.begin(),st2.end(),cmpe);

		Merge(st,st2);

	}

	for(int i=1;i<=q;i++) if(ans[i]) {

		cout<<ans[i]<<"\n";

	}

	return 0;

}