#3145. 「APIO 2019」桥梁

#3145. 「APIO 2019」桥梁

题目描述

圣彼得堡市内所有水路长度总和约 282 千米，市内水域面积占城市面积的 7%。——来自维基百科

圣彼得堡位于由 \(m\) 座桥梁连接而成的 \(n\) 个岛屿上。岛屿用 \(1\) 到 \(n\) 的整数编号，桥梁用 \(1\) 到 \(m\) 的整数编号。每座桥连接两个不同的岛屿。有些桥梁是在彼得大帝时代建造的，其中一些是近期建造的。这导致了不同的桥梁可能有不同的重量限制。更具体地，只有重量不超过 \(d_i\) 的汽车才能通过第 \(i\) 座桥梁。有时圣彼得堡的一些桥梁会进行翻新，但这并不一定会使桥梁承重变得更好，也就是说，进行翻新的桥梁的 \(d_i\) 可能会增加或减少。你准备开发一个产品，用于帮助公民和城市客人。目前，你开发的模块要能执行两种类型的操作：

\1. 将桥梁 \(b_j\) 的重量限制改为 \(r_j\)。

\2. 统计一辆重为 \(w_j\) 的汽车从岛屿 \(s_j\) 出发能够到达多少个不同的岛屿。

请你回答所有第二种操作的答案。

输入格式

第一行包含两个整数 \(n\) 和 \(m\)——表示圣彼得堡的岛屿数量与桥梁数量。

接下来 \(m\) 行，每行三个整数 \(u_i, v_i, d_i\)。第 \(i\) 行的整数描述了一座连接岛屿 \(u_i\) 和 \(v_i\)，初始时重量限制为 \(d_i\) 的桥梁。

接下来一行一个整数 \(q\)——表示操作的数量。

接下来 \(q\) 行按顺序每行描述一个操作。

每行第一个整数 \(t_j\) 表示操作类型：

- 若 \(t_j = 1\)，则该操作是第一种类型，该行接下来给定两个整数 \(b_j\) 和 \(r_j\)，表示桥梁 \(b_j\) 的重量限制将变为 \(r_j\)。

- 若 \(t_j = 2\)，则该操作是第二种类型，该行接下来给定两个整数 \(s_j\) 和 \(w_j\)，表示一辆重为 \(w_j\) 的汽车将要从第 \(s_j\) 个岛屿出发。

输出格式

对于每个第二种类型的询问，输出一行一个整数表示答案。

数据范围与提示

对于全部数据，\(1\le n\le 5\times 10^4,0\le m\le 10^5,1\le q\le 10^5\)。保证 \(1\le u_i,v_i,s_j\le n,u_i\not =v_i,1\le d_i,r_j,w_j\le 10^9,1\le b_j\le m,t_j\in\{1,2\}\)。

我们把一次修改视作产生了两条不同的边，每条边都有一个存在的时间。

将操作序列分块，对每个块内的询问分别处理。将询问的\(w\)升序排列，将出现在这个块之前，并且在这个块之后再消失的边按\(w\)排序。依次处理询问时，依次加入这些边，用路径压缩的并查集。每一次询问时，对于结束时间在这个块内的边，我们暴力判断是否要加入，询问了之后再撤销。这部分用按秩合并的并查集。

复杂度\(O(m\sqrt{mlog(n)})\)

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long
#define N 100005

using namespace std;
inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m,q;

const int blk=600;
int bel[N];
struct edge {
	int x,y,w;
	int l,r;
	bool operator <(const edge &a)const {return w>a.w;}
}e[N<<1];
bool cmpe(int a,int b) {
	return e[a].w>e[b].w;
}
int etot;
int lst[N];
int op[N];
int E[N],pos[N],w[N];
vector<int>que[N/blk+5];
bool cmp(int a,int b) {return w[a]>w[b];}

int fa[N],size[N],dep[N];
int Getf(int v) {return v==fa[v]?v:fa[v]=Getf(fa[v]);}

int Getf2(int v) {
	while(v!=fa[v]) v=fa[v];
	return v;
}

void Merge(int a,int b) {
	a=Getf(a),b=Getf(b);
	if(a==b) return ;
	fa[a]=b;
	size[b]+=size[a];
}

void Init() {for(int i=1;i<=n;i++) fa[i]=i,size[i]=1,dep[i]=1;}
vector<int>tem;
int L[N],R[N];
struct node {
	int x,size,dep;
	node() {}
	node(int _x,int _size,int _dep) {x=_x,size=_size,dep=_dep;}
};
vector<node>undo;
vector<int>st,st2;
int ans[N];
void Merge(vector<int>&a,vector<int>&b) {
	static vector<int>st;
	st.clear();
	int ta=0,tb=0;
	while(ta!=a.size()||tb!=b.size()) {
		if(ta==a.size()) st.push_back(b[tb]),tb++;
		else if(tb==b.size()) st.push_back(a[ta]),ta++;
		else if(e[a[ta]].w>e[b[tb]].w) st.push_back(a[ta]),ta++;
		else st.push_back(b[tb]),tb++;
	}
	a.clear();
	for(int i=0;i<st.size();i++) a.push_back(st[i]);
}
int main() {
	n=Get(),m=Get();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		e[i].x=Get(),e[i].y=Get(),e[i].w=Get();
	}
	q=Get();
	for(int i=1;i<=m;i++) {
		lst[i]=i;
		e[i].l=1,e[i].r=q;
	}
	etot=m;
	int x,y;
	for(int i=1;i<=q;i++) {
		op[i]=Get();
		x=Get(),y=Get();
		if(op[i]==1) {
			E[i]=++etot;
			e[E[i]]=e[lst[x]];
			e[E[i]].w=y;
			e[lst[x]].r=i-1;
			e[E[i]].l=i;
			e[E[i]].r=q;
			lst[x]=etot;
		} else {
			pos[i]=x,w[i]=y;
		}
	}
	sort(e+1,e+1+m);
	for(int i=1;i<=m;i++) if(e[i].r) st.push_back(i);
	for(int i=1;i<=q;i++) bel[i]=(i-1)/blk+1;
	for(int i=1;i<=bel[q];i++) L[i]=(i-1)*blk+1,R[i]=min(q,i*blk);
	for(int i=1;i<=q;i++) if(op[i]==2) que[bel[i]].push_back(i);

	for(int i=1;i<=bel[q];i++) {
		sort(que[i].begin(),que[i].end(),cmp);
		Init();

		tem.clear();
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) tem.push_back(E[j]);
		int tag=0;
		for(int j=0;j<que[i].size();j++) {
			int now=que[i][j];
			while(tag<st.size()&&e[st[tag]].w>=w[now]) {
				if(e[st[tag]].r>=R[i]) {
					Merge(e[st[tag]].x,e[st[tag]].y);
				} else if(e[st[tag]].r>=L[i]) tem.push_back(st[tag]);
				tag++;
			}
			for(int k=0;k<tem.size();k++) {
				int x=e[tem[k]].x,y=e[tem[k]].y;
				Getf(x),Getf(y);
			}
			undo.clear();
			for(int k=0;k<tem.size();k++) {
				int id=tem[k];
				if(e[id].l<=now&&now<=e[id].r&&e[id].w>=w[now]) {
					int x=Getf2(e[id].x),y=Getf2(e[id].y);
					if(x==y) continue ;
					undo.push_back(node(x,size[x],dep[x]));
					undo.push_back(node(y,size[y],dep[y]));
					if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
					fa[x]=y;
					size[y]+=size[x];
					if(dep[x]==dep[y]) dep[y]++;
				}
			}
			ans[now]=size[Getf2(pos[now])];
			while(undo.size()) {
				node a=undo.back();
				undo.pop_back();
				fa[a.x]=a.x;
				size[a.x]=a.size;
				dep[a.x]=a.dep;
			}
		}
		st2.clear();
		for(int j=L[i];j<=R[i];j++) if(op[j]==1) st2.push_back(E[j]);
		sort(st2.begin(),st2.end(),cmpe);
		Merge(st,st2);
	}
	for(int i=1;i<=q;i++) if(ans[i]) {
		cout<<ans[i]<<"\n";
	}
	return 0;
}