【算法】计算几何

【题意】给定平面直角坐标系上的若干个点,任意选点连成凸多边形,凸多边形的价值定义为2^(n-|S|),其中n为凸多边形内部点数(含边界),|S|为顶点数,求总价值。n<=10^5。

【题解】

首先凸多边形的价值转化为凸多边形内部点数的选择方案(每个点选或不选)。

先考虑没有多点共线的情况。

本题中,对于每个方案,凸多边形外面没有点。①

对于一个若干点的图,只有唯一的凸多边形包括整个图。②

由上可知,①和②等价,也就是对于整个图枚举点选或不选的方案,唯一对应了一个答案,总价值为2^n-n^2-1(n为总点数,减去选0.1.2个点的方案)。

再来处理多点共线的情况,显然不能使选择的所有点都在同一直线上,所以枚举同一直线上的点数减去,细节见代码。

本题套路:枚举同一直线上的点,利用在同一直线上的点必定在其中两个点组成的直线上的原理,只需枚举任意两点,再枚举第三点是否在该直线上即可,复杂度O(1/6*n^3)。

题外套路:枚举多少直线交于一点,利用交于同一点的直线必然经过其中两条直线相交点的原理,直接枚举两条直线后再枚举第三条即可。

#include<cstdio>
int n,d,ans,x[],y[],p[];
int main(){
scanf("%d",&n);
int M=;
p[]=;
for(int i=;i<=n;i++){
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
p[i]=1ll*p[i-]*%M;
}
ans=p[n]-n-;
for(int i=;i<=n;i++){
for(int j=i+;j<=n;j++){
d=;
for(int k=j+;k<=n;k++)d+=(y[i]-y[j])*(x[i]-x[k])==(y[i]-y[k])*(x[i]-x[j]);
ans=(ans+M-p[d])%M;
}
}
printf("%d",ans);
}

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