数据结构54：平衡二叉树（AVL树）

上一节介绍如何使用二叉排序树实现动态查找表，本节介绍另外一种实现方式——平衡二叉树。

平衡二叉树，又称为 AVL 树。实际上就是遵循以下两个特点的二叉树：

• 每棵子树中的左子树和右子树的深度差不能超过 1；
• 二叉树中每棵子树都要求是平衡二叉树；

其实就是在二叉树的基础上，若树中每棵子树都满足其左子树和右子树的深度差都不超过 1，则这棵二叉树就是平衡二叉树。

图 1 平衡与不平衡的二叉树及结点的平衡因子
 

平衡因子：每个结点都有其各自的平衡因子，表示的就是其左子树深度同右子树深度的差。平衡二叉树中各结点平衡因子的取值只可能是：0、1 和 -1。

如图 1 所示，其中 （a） 的两棵二叉树中由于各个结点的平衡因子数的绝对值都不超过 1，所以 （a） 中两棵二叉树都是平衡二叉树；

而 （b） 的两棵二叉树中有结点的平衡因子数的绝对值超过 1，所以都不是平衡二叉树。

二叉排序树转化为平衡二叉树

为了排除动态查找表中不同的数据排列方式对算法性能的影响，需要考虑在不会破坏二叉排序树本身结构的前提下，将二叉排序树转化为平衡二叉树。

例如，使用上一节的算法在对查找表{13，24，37，90，53}构建二叉排序树时，当插入 13 和 24 时，二叉排序树此时还是平衡二叉树：

图 2 平衡二叉树

当继续插入 37 时，生成的二叉排序树如图 3（a），平衡二叉树的结构被破坏，此时只需要对二叉排序树做“旋转”操作（如图 3（b）），

即整棵树以结点 24 为根结点，二叉排序树的结构没有破坏，同时将该树转化为了平衡二叉树：

图 3 二叉排序树变为平衡二叉树的过程

当二叉排序树的平衡性被打破时，就如同扁担的两头出现了一头重一头轻的现象，如图3（a）所示，此时只需要改变扁担的支撑点（树的树根），就能使其重新归为平衡。实际上图 3 中的 （b） 是对（a） 的二叉树做了一个向左逆时针旋转的操作。

继续插入 90 和 53 后，二叉排序树如图 4（a）所示，导致二叉树中结点 24 和 37 的平衡因子的绝对值大于 1 ，整棵树的平衡被打破。此时，需要做两步操作：

1. 如图 4（b） 所示，将结点 53 和 90 整体向右顺时针旋转，使本该以 90 为根结点的子树改为以结点 53 为根结点；
2. 如图 4（c） 所示，将以结点 37 为根结点的子树向左逆时针旋转，使本该以 37 为根结点的子树，改为以结点 53 为根结点；

图 4 二叉排序树转化为平衡二叉树

做完以上操作，即完成了由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

当平衡二叉树由于新增数据元素导致整棵树的平衡遭到破坏时，就需要根据实际情况做出适当的调整，假设距离插入结点最近的“不平衡因子”为 a。

则调整的规律可归纳为以下 4 种情况：

• 单向右旋平衡处理：若由于结点 a 的左子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点 a 的平衡因子由 1 增至 2，致使以 a 为根结点的子树失去平衡，
• 则只需进行一次向右的顺时针旋转，如下图这种情况：

图 5 单向右旋

• 单向左旋平衡处理：如果由于结点 a 的右子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点 a 的平衡因子由 -1变为 -2，则以 a 为根结点的子树需要进行一次
• 向左的逆时针旋转，如下图这种情况：

图 6 单向左旋

• 双向旋转（先左后右）平衡处理：如果由于结点 a 的左子树为根结点的右子树上插入结点，导致结点 a 平衡因子由 1 增至 2，
• 致使以 a 为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转操作，如下图这种情况：

图 7 双向旋转（先左后右）

注意：图 7 中插入结点也可以为结点 C 的右孩子，则（b）中插入结点的位置还是结点 C 右孩子，（c）中插入结点的位置为结点 A 的左孩子。

• 双向旋转（先右后左）平衡处理：如果由于结点 a 的右子树为根结点的左子树上插入结点，导致结点 a 平衡因子由 -1 变为 -2，
• 致使以 a 为根结点的子树失去平衡，则需要进行两次旋转（先右旋后左旋）操作，如下图这种情况：

图 8 双向旋转（先右后左）

注意：图 8 中插入结点也可以为结点 C 的右孩子，则（b）中插入结点的位置改为结点 B 的左孩子，（c）中插入结点的位置为结点 B 的左孩子。

在对查找表{13，24，37，90，53}构建平衡二叉树时，由于符合第 4 条的规律，所以进行先右旋后左旋的处理，最终由不平衡的二叉排序树转变为平衡二叉树。

构建平衡二叉树的代码实现

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
//分别定义平衡因子数
#define LH +1
#define EH  0
#define RH -1
typedef int ElemType;
typedef enum 
{
　　false,
　　true
} bool;
// 定义二叉排序树
typedef struct BSTNode
{
    ElemType data;
    int bf;　　//balance flag
    struct BSTNode *lchild, *rchild;
}*BSTree, BSTNode;
// 对以 p 为根结点的二叉树做右旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void R_Rotate(BSTree* p)
{
    // 借助文章中的图 5 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree lc = (*p)->lchild;
    (*p)->lchild = lc->rchild;
    lc->rchild = *p;
    *p = lc;
}
// 对以 p 为根结点的二叉树做左旋处理，令 p 指针指向新的树根结点
void L_Rotate(BSTree* p)
{
    // 借助文章中的图 6 所示加以理解，其中结点 A 为 p 指针指向的根结点
    BSTree rc = (*p)->rchild;
    (*p)->rchild = rc->lchild;
    rc->lchild = *p;
    *p = rc;
}
// 对以指针 T 所指向结点为根结点的二叉树作左子树的平衡处理，令指针 T 指向新的根结点
void LeftBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc,rd;
    lc = (*T)->lchild;
    // 查看以 T 的左子树为根结点的子树，失去平衡的原因，如果 bf 值为 1 ，则说明添加在左子树为根结点的左子树中，需要对其进行右旋处理；
　　 // 反之，如果 bf 值为 -1，说明添加在以左子树为根结点的右子树中，需要进行双向先左旋后右旋的处理
    switch (lc->bf)
    {
        case LH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            R_Rotate(T);
            break;
        case RH:
            rd = lc->rchild;
            switch(rd->bf)
        　　{
            case LH:
                (*T)->bf = RH;
                lc->bf = EH;
                break;
            case EH:
                (*T)->bf = lc->bf = EH;
                break;
            case RH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = LH;
                break;
       　　 }
            rd->bf = EH;
            L_Rotate(&(*T)->lchild);
            R_Rotate(T);
            break;
    }
}
// 右子树的平衡处理同左子树的平衡处理完全类似
void RightBalance(BSTree* T)
{
    BSTree lc, rd;
    lc = (*T)->rchild;
    switch (lc->bf)
    {
        case RH:
            (*T)->bf = lc->bf = EH;
            L_Rotate(T);
            break;
        case LH:
            rd = lc->lchild;
            switch(rd->bf)
       　　 {
            case LH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = RH;
                break;
            case EH:
                (*T)->bf = lc->bf = EH;
                break;
            case RH:
                (*T)->bf = EH;
                lc->bf = LH;
                break;
        　　}
           rd->bf = EH;
           R_Rotate(&(*T)->rchild);
           L_Rotate(T);
           break;
    }
}

int InsertAVL(BSTree* T, ElemType e, bool* taller)
{
    // 如果本身为空树，则直接添加 e 为根结点
    if ((*T) == NULL)
    {
        (*T) = (BSTree)malloc(sizeof(BSTNode));
        (*T)->bf = EH;
        (*T)->data = e;
        (*T)->lchild = NULL;
        (*T)->rchild = NULL;
        *taller = true;
    }
    else if (e == (*T)->data)   // 如果二叉树排序中已经存在e，则不做任何处理
    {
        *taller = false;
        return ;
    }
    //如果 e 小于结点 T 的数据域，则插入到 T 的左子树中
    else if (e < (*T)->data)
    {
        // 如果插入过程，不会影响树本身的平衡，则直接结束
        if(!InsertAVL(&(*T)->lchild,e,taller))
            return ;
        // 判断插入过程是否会导致整棵树的深度 +1
        if(*taller)
        {
            // 判断根结点 T 的平衡因子是多少，由于是在其左子树添加新结点的过程中导致失去平衡，所以当 T 结点的平衡因子本身为 1 时，需要进行左子树的平衡处理，
　　　　　　  // 否则更新树中各结点的平衡因子数
            switch ((*T)->bf)
            {
                case LH:
                    LeftBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
                case  EH:
                    (*T)->bf = LH;
                    *taller = true;
                    break;
                case RH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    else　　// 同样，当e>T->data时，需要插入到以T为根结点的树的右子树种，同样需要和以上同样的操作
    {
        if(!InsertAVL(&(*T)->rchild, e, taller))
            return ;
        if (*taller)
        {
            switch ((*T)->bf)
            {
                case LH:
                    (*T)->bf = EH;
                    *taller = false;
                    break;
                case EH:
                    (*T)->bf = RH;
                    *taller = true;
                    break;
                case  RH:
                    RightBalance(T);
                    *taller = false;
                    break;
            }
        }
    }
    return ;
}
// 判断现有平衡二叉树中是否已经具有数据域为 e 的结点
bool FindNode(BSTree root, ElemType e, BSTree* pos)
{
    BSTree pt = root;
    (*pos) = NULL;
    while(pt)
    {
        if (pt->data == e)
        {
            // 找到节点，pos指向该节点并返回true
            (*pos) = pt;
            return true;
        }
        else if (pt->data>e)
        {
            pt = pt->lchild;
        }
        else
            pt = pt->rchild;
    }
    return false;
}
//中序遍历平衡二叉树
void InorderTra(BSTree root)
{
    if(root->lchild)
        InorderTra(root->lchild);

    printf("%d ",root->data);

    if(root->rchild)
        InorderTra(root->rchild);
}

int main()
{
    int i,nArr[] = {,,,,,,,,};
    BSTree root = NULL, pos;
    bool taller;
    // 用 nArr查找表构建平衡二叉树（不断插入数据的过程）
    for (i=; i<; i++)
    {
        InsertAVL(&root, nArr[i], &taller);
    }
    // 中序遍历输出
    InorderTra(root);
    // 判断平衡二叉树中是否含有数据域为 103 的数据
    if(FindNode(root, , &pos))
        printf("\n%d\n", pos->data);
    else
        printf("\nNot find this Node\n");
    return ;
}
运行结果

Not find this Node  

总结

使用平衡二叉树进行查找操作的时间复杂度为O(logn)。在学习本节内容时，紧贴本节图示比较容易理解。