manim边学边做--同伦变换

在Manim中，移动一个元素除了之前介绍的方法之外，还可以通过同伦运算来移动一个元素。

与普通的移动元素方式相比，使用同伦运算移动一个元素时，实际上是在考虑整个空间的连续变形过程中元素的相应变化。

这种移动不是孤立地看待元素的位置改变，而是将元素置于空间的整体结构中，通过连续变形的方式实现元素的 “移动”。

简单来说，元素的同伦移动是通过连续变形实现的，不存在突然的跳跃或中断。

在同伦运算中，元素的每一个中间状态都与前后状态连续过渡，保持了整个移动过程的连贯性。

Manim中关于同伦移动的动画类主要有：

1. ComplexHomotopy：用于展示复函数之间的同伦变换
2. Homotopy：更通用的同伦动画效果类，它可以用于展示任意两个对象之间的同伦变换，不仅仅局限于复函数
3. SmoothedVectorizedHomotopy：对向量场进行平滑的同伦变换

1. 动画概述

1.1. ComplexHomotopy

ComplexHomotopy通常需要接收两个复函数作为参数，通过在复平面上对这两个函数进行采样，得到一系列的复数点。

然后，在动画过程中，按照一定的插值方法，逐步将第一个函数对应的点变换到第二个函数对应的点。

它的参数主要有：

参数名称	类型	说明
complex_homotopy	func	定义了复平面上的同伦变换规则的函数
mobject	Mobject	要应用同伦变换的数学对象

complex_homotopy参数是一个函数，它接受一个复数作为参数，并返回一个浮点数。

1.2. Homotopy

Homotopy需要定义起始对象和目标对象，以及一个描述同伦过程的函数。

在动画运行时，根据时间参数，通过同伦函数计算出每个时刻对象的中间状态，

这个中间状态的计算可能涉及到对象的几何属性（如点的坐标、图形的形状参数等）的插值和变换。

它的参数主要有：

参数名称	类型	说明
homotopy	func	定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject	Mobject	要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs	dict	在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

homotopy参数是一个参数，它接受四个数$ (x,y,z,t) \(作为参数，分别表示对象在三维空间中的坐标\) (x,y,z) \(以及动画时间参数\) t $（的取值范围从 0 到 1），

并返回一个包含三个数的元组$ (x',y',z') \(，表示在时间\) t $时，原始坐标对应的点经过同伦变换后的新坐标。

1.3. SmoothedVectorizedHomotopy

SmoothedVectorizedHomotopy首先需要获取起始向量场和目标向量场的信息，例如向量的大小和方向。

在动画过程中，通过一种平滑的插值算法来计算中间时刻向量场的向量值，这种算法可能会考虑向量场的梯度、散度等属性，以确保向量的变化是连续且符合物理规律的。

在每一帧动画中，根据计算得到的向量值绘制出相应的向量场，展示出向量场的平滑同伦变换。

它的参数主要有：

参数名称	类型	说明
homotopy	func	定义了对象在动画过程中的变形规则的函数
mobject	Mobject	要应用同伦变换的数学对象
apply_function_kwargs	dict	在应用同伦变换函数时提供额外的控制或配置信息

SmoothedVectorizedHomotopy参数和Homotopy参数的含义是一样的。

SmoothedVectorizedHomotopy侧重于向量场的平滑同伦变换，虽然参数类似但主要针对向量场，确保其变换过程平滑，在涉及向量场的场景（如物理场模拟）中发挥独特作用。

2. 使用示例

这几个同伦变换的类使用起来没有那么直观，下面通过几个示例来演示如何使用这些类。

2.1. 复函数同伦变换展示

这个示例利用ComplexHomotopy展示了复函数$ f(z)=e^z \(到\) g(z)=sin(z) $的同伦变换过程。

通过在复平面上创建一系列的点来模拟这个变换的过程。

# 创建复平面
plane = ComplexPlane(
    x_range=[-8, 8],
    y_range=[-8, 8],
    x_length=6,
    y_length=6,
)
self.add(plane)

# 定义两个复函数
def f(z):
    return np.exp(z)

def g(z):
    return np.sin(z)

# ComplexHomotopy动画
homotopy = lambda z, t: (1 - t) * f(z) + t * g(z)
# 要应用动画的点集
points = [
    complex(x, y) for x in np.arange(-3, 3, 0.5) for y in np.arange(-3, 3, 0.5)
]
mobject = VGroup(*[Dot(plane.n2p(p)) for p in points])
self.add(mobject)
self.play(
    ComplexHomotopy(homotopy, mobject),
    run_time=3,
)

2.2. 圆形的同伦收缩演示

借助Homotopy实现圆形在三维空间沿轴逐渐收缩为点的动画，

展示拓扑学中同伦变换下几何图形的连续变化，辅助理解拓扑性质。

# 创建一个圆形
circle = Circle(radius=2)
self.add(circle)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return (x * (1 - t), y * (1 - t), z)

# 创建Homotopy动画
self.play(
    Homotopy(homotopy, circle),
    run_time=3,
)

2.3. 向量场强度均匀减弱模拟

通过SmoothedVectorizedHomotopy呈现二维向量场强度随时间均匀减弱，

在物理学电场或磁场教学中，能有效帮助学生理解向量场动态变化。

# 创建一个向量场
vector_field = ArrowVectorField(
    lambda pos: (pos[0], pos[1], 0)
)
self.add(vector_field)

# 定义同伦函数
def homotopy(x, y, z, t):
    return ((1 - t) * x, (1 - t) * y, 0)

# SmoothedVectorizedHomotopy动画
self.play(
    SmoothedVectorizedHomotopy(homotopy, vector_field),
    run_time=3,
)

3. 附件

文中的代码只是关键部分的截取，完整的代码共享在网盘中（homotopy.py），

下载地址: 完整代码 (访问密码: 6872)

4. 补充说明：什么是同伦运算

同伦运算是代数拓扑学中的概念，本质上是在同伦范畴中对映射或空间的操作。

从直观上来说，如果两个连续映射 可以通过连续变形从一个变成另一个，那么这两个映射是同伦的，而对这些同伦的映射进行的各种操作和研究就是同伦运算的范畴。

具体的数学定义这里不赘述，举几个实际生活中可以当做同伦变换的例子来帮助大家理解一下：

1. 揉面团：把一块面团从初始的球形揉成各种形状，比如椭圆形、扁平状，甚至可以在面团上捏出一些起伏但不切断面团。这个过程中，面团的形状发生了连续变化，但它始终是一个整体，没有被撕裂或粘连，不同形状之间存在同伦关系。
2. 吹气球：从气球未吹气时的扁平状态，到逐渐吹起变成球形的过程，气球的表面在连续地扩张变形。只要气球没有破裂，这个过程就是一个连续的变换。
3. 绳结的变换：在不剪断绳子和不使绳子打结部分相互穿越的前提下，绳结可以从一种形状连续地变换为另一种形状。
4. 衣服的变形：一件衣服在被人穿着的过程中，随着人的动作，衣服会发生各种变形。比如从平整的挂在衣架上的状态，到穿在人身上随着身体的弯曲、伸展而改变形状。
5. 等等... ...

注意，上面的示例可以帮助理解同伦变换，但并不是完全严谨的同伦变换，

比如，面团弄断了，衣服撕裂了等等情况就不是同伦变换，但却是实际生活中经常发生的事。