「Note」数论方向 - 组合数学

1. 容斥原理

1.1 介绍

解决集合内计数问题。

\(S\) 为集合编号集合。

\[\left | \bigcup_{i\in S}A_i \right | =\sum_{T\subseteq S\wedge T\ne \varnothing}^{n}(-1)^{(\left | T \right | -1)}\left | \bigcap_{j\in T}A_j \right |
\]

1.2 咕咕咕

2. 卡特兰数

解决很多问题。

递推式：

\[C_i=\begin{cases}1&i=0\\ {\sum_{j=0}^{i-1}(C_j\times C_{i-j-1})}&i\ne 1\end{cases}
\]

\[C_i=\frac{C_{i-1}\times(4n-2)}{n+1}
\]

通项公式：

\[C_i=\frac{\dbinom{2n}{n}}{n+1}
\]

1.2 咕咕咕