树上高斯消元（P5643 sol）

经典小技巧。以 P5643 为例，首先显然 min-max 容斥，之后枚举子集，算 \(x\) 到子集的期望移动步数。考虑高斯消元，\(x \not \in S\) 时转移方程为 \(f_x = \dfrac{1}{d} \sum\limits_{(x, u) \in \mathbf{E}} f_u + 1\)，设 \(f_x = A_x f_{fa_x} + B_x\)，那么有：

\[f_x = \dfrac{1}{d} (fa_x + \sum_u (A_u f_x + B_u)) + 1
\]

\[(d - \sum_u A_u) f_x = fa_x + \sum_u B_u + d
\]

\[A_x = \dfrac{1}{d - \sum\limits_u A_u}, B_x = \dfrac{d + \sum\limits_u B_u}{d - \sum\limits_u A_u}
\]

特别的，对于 \(x \in S\)，有 \(A_x = B_x = 0\)，对于根节点 \(rt\)，有 \(f_{rt} = B_{rt}\)。本题中只需求根节点的 \(f\) 值，故一次 dfs 从下到上解出 \(A, B\) 即可。若需解出全部节点的 \(f\) 值，再从上到下递推即可。最后为了计算答案，乘上容斥系数再高维前缀和即可。复杂度 \(\mathcal{O}(2 ^ n n + nq)\)。