ABC 386 (A~F)

赛时做的，结果一直在卡D题。打得很失败的一场。

ABC

略。

D

题意可以转化为：给定\(m\)个黑色或白色的格子，其中：

1. 每个黑色格子和\((1,1)\)作为对角线顶点，构成一个黑色矩形
2. 每个白色格子和\((n,n)\)作为对角线顶点，构成一个白色矩形

要求任意一对黑色矩形与白色矩形不相交，判断是否可行。

可以转化为，不能出现任何一个白点，它的\(x,y\)均\(<=\)任何一个黑点的\(x,y\)，否则这个黑点就会包含在这个白点构成的矩形中。

将所有点按照行优先，行列均从小到大排序。这样就已经钦定好了\(x\)的顺序，接下来只需要考虑\(y\)的合法性即可。对于当前所有枚举的白色格子，维护它们的\(miny\),则在之后枚举的所有黑色格子中，它的\(y\)不能超过当前的\(miny\)，否则这个黑色格子就一定包括在了某个白色矩形内，一定不合法。

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E

暴搜，但有一个小坑点。

题意开门见山，\(C(n,k) <= 10^6\)，直接告诉你了暴搜就行。但是复杂度并不只是\(O(C(n,k))\)，而是\(O(k*C(n,k))\)。

因为对于每一个方案，\(dfs\)递归函数就已经递归了\(k\)层。所以对于每一种枚举方案，都要递归\(k\)层。所以复杂度要多乘一个\(k\)。

由于\(C(n,k)\)很小的时候，\(n\)和\(k\)一定非常接近。所以要么\(k\)很小，要么\(n-k\)很小。故：

1. 当\(k\)很小时，直接暴搜就行了。
2. 当\(n-k\)很小时，考虑枚举不选的数，这样枚举的数量仍然很小，可以得到所有不选的数的异或和。最后所有选的数的异或和可以用 所有数的异或和 ^ 所有不选的数的异或和 来得到。、

虽然这道题出在E很奇怪，但也让我对暴搜的复杂度有了更深一步的理解，还是有所收获的。

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F

字符串编辑距离\(dp\)的魔改

首先考虑朴素的字符串编辑距离：

给定两个字符串，每次可使用三种操作中的一种：

1. 在S任意位置添加一个字符

2. 删除S任意一个字符

3. 将S某个字符修改为任意字符

\(dp[i][j]\) : 将\(S[1到i]\)变为\(T[1到j]\)，需要的最小操作数

\(init\)：\(dp[0][0] = 0\) ， $dp[i][j] = ∞ $ ，\(ans = dp[n][m]\)

转移：

dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[i - 1][j] + 1);// 删除S[i]
dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[i][j - 1] + 1);// 在S末尾添加T[j]
dp[i][j] = min(dp[i][j] , dp[i - 1][j - 1] + (S[i] != T[j]));// 将S[i]修改为T[j]，若本来就相同则不用修改

时间复杂度为\(O(nm)\)，当两个字符串长均为\(10^5\)级别时必然TLE。考虑优化：

由于可操作次数\(k\)非常小，最多才\(20\)。所以对于任意\(S\)与\(T\)的前缀，若二者的长度差绝对值超过了\(k\),就不需要再计算对应的\(dp\)值了，因为必然要进行超过\(k\)次的插入或者删除，一定不合法。

所以，只需要枚举S的前缀，然后从\(S[i]\)出发，只转移向左或向右走\(k\)步以内的状态就行了，时间复杂度\(O(nk)\)。

更改\(dp\)数组的定义：\(dp[i][dj]\)表示将\(S[1到i]\)变成\(T[1到i-dj]\)，需要的最小操作数，即第二维表示T结尾相对于S结尾的偏移量，范围\([-k,k]\)，负数偏左，正数偏右。

状态转移：见AC代码。尤其要注意\(dp\)数组第二维的下标是怎样变化的，需要考虑S与T结尾的相对位置差距。

由于数组下标不能是负数，所以对第二维整体加个\(k\)，这样就避免了下标为负数了。

同时要注意在字符串\(dp\)中，空串是一个很重要的概念，是\(dp\)数组最开始转移的基础，空串也要参与转移。

总的来说，这不是一道难题，甚至可以说是一道典题。但补题还是补了很长时间，还是太菜了。。

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