poj 1845 数论综合

题意：求A^B的所有因数的和 mod 9901

sol：一开始毫无思路，因为很多定理都不知道-_-||

1. 整数的唯一分解定理：

任意正整数都有且只有一种方式写出其素因子的乘积表达式。

A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)   其中pi均为素数

2. 约数和公式：
对于已经分解的整数A=(p1^k1)*(p2^k2)*(p3^k3)*....*(pn^kn)
有A的所有因子之和为
S = (1+p1+p1^2+p1^3+...p1^k1) * (1+p2+p2^2+p2^3+….p2^k2) * (1+p3+ p3^3+…+ p3^k3) * .... * (1+pn+pn^2+pn^3+...pn^kn)

 

熟悉了公式定理就好办了。

首先求出p[i]、k[i]

然后就有

A=p1^n1*p2^n2*......*pk^nk

A^B=(p1^(B*n1))*(p2^(b*n2))*......*(pk^(b*nk))

然后求出S即可。

 注意：一开始我用等比数列求和公式求S，还用了pow_mod。其实这样不行。

比如数据59407 1，

59407 mod 9901=1，最终得出的结果成了0

模运算也不是随便用的，还得按公式来= =

Reference：http://blog.csdn.net/lyy289065406/article/details/6648539

 #include "iostream"
 #include "cstdio"
 using namespace std;
 #define P 9901
 #define LL __int64
 LL n[],p[];    //A=**(p[i]^n[i])
 LL k,A,B;

 LL pow_mod(LL p, LL k,int mod)       //(p^k)%mod
 {
     LL ans = ;
     while(k) {
         if (k & ) ans = ans * p % mod;
         p = (LL)p*p % mod;
         k >>= ;
     }
     return ans;
 }

 void divide()
 {
     k=;
     /*常规做法：分解整数A (A为非质数)*/
     for(int i=; i*i<=A;)  //根号法+递归法
     {
         if(A%i==)
         {
             p[k]=i;
             n[k]=;
             while(!(A%i))
             {
                 n[k]++;
                 A/=i;
             }
             k++;
         }
         if(i==)  //奇偶法
             i++;
         else
             i+=;
     }
     /*特殊判定：分解整数A (A为质数)*/
     if(A!=)
     {
         p[k]=A;
         n[k++]=;
     }
     k--;
 }

 LL calc(LL p,LL n)  //递归二分求 (1 + p + p^2 + p^3 +...+ p^n)%mod
 {                          //奇数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2)) * (1 + p^(n/2+1))
     if(n==)               //偶数二分式 (1 + p + p^2 +...+ p^(n/2-1)) * (1+p^(n/2+1)) + p^(n/2)
         return ;
     if(n%)  //n为奇数,
         return (calc(p,n/)*(+pow_mod(p,n/+,P)))%P;
     else     //n为偶数
         return (calc(p,n/-)*(+pow_mod(p,n/+,P))+pow_mod(p,n/,P))%P;
 }

 int main()
 {
     //freopen("in.txt","r",stdin);
     while (cin>>A>>B)
     {
         divide();
         LL sum=;
         for (LL i=;i<=k;i++)
         {
             LL tm=calc(p[i],B*n[i]);
             sum=(sum*tm)%P;
         }
         cout<<sum<<endl;
     }
     return ;
 }