paper 42 ：图像的小波变换

关于小波变换我只是有一个很朴素了理解。不过小波变换可以和傅里叶变换结合起来理解。

傅里叶变换是用一系列不同频率的正余弦函数去分解原函数，变换后得到是原函数在正余弦不同频率下的系数。

小波变换使用一系列的不同尺度的小波去分解原函数，变换后得到的是原函数在不同尺度小波下的系数。

不同的小波通过平移与尺度变换分解，平移是为了得到原函数的时间特性，尺度变换是为了得到原函数的频率特性。

小波变换步骤：

1.把小波w(t)和原函数f(t)的开始部分进行比较，计算系数C。系数C表示该部分函数与小波的相似程度。

2.把小波向右移k单位，得到小波w(t-k)，重复1。重复该部知道函数f结束.

3.扩展小波w(t)，得到小波w(t/2)，重复步骤1,2.

4.不断扩展小波，重复1,2,3.

我这里使用的haar小波，缩放函数是[1 1]，小波函数是[1 -1]。是最简单的小波了。

先看看分解的效果，这次我选用了大图：

尺度为2的全分解小波包：

下面是matlab代码：

main.m

clear all;
close all;
clc;

img=double(imread('Lena (2).jpg'));
[m n]=size(img);

[LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img); %当然dwt2(img,'haar')是一样的，我只是想明白细节
img=[LL LH;HL HH]; %一层分解

imgn=zeros(m,n);
for i=0:m/2:m/2
for j=0:n/2:n/2
[LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img(i+1:i+m/2,j+1:j+n/2)); %对一层分解后的四个图像分别再分解
imgn(i+1:i+m/2,j+1:j+n/2)=[LL LH;HL HH];
end
end

imshow(imgn)

haar_dwt2D.m

function [LL LH HL HH]=haar_dwt2D(img)
[m n]=size(img);
for i=1:m %每一行进行分解
[L H]=haar_dwt(img(i,:));
img(i,:)=[L H];
end
for j=1:n %每一列进行分解
[L H]=haar_dwt(img(:,j));
img(:,j)=[L H];
end
%本来分解不应该加mat2gray的，不过为了有好的显示效果就加上了
LL=mat2gray(img(1:m/2,1:n/2)); %行列都是低频
LH=mat2gray(img(1:m/2,n/2+1:n)); %行低频列高频
HL=mat2gray(img(m/2+1:m,1:n/2)); %行高频列低频
HH=mat2gray(img(m/2+1:m,n/2+1:n)); %行列都是高频

end

haar_dwt.m

function [L H]=haar_dwt(f)　　%显然，我没有做边界处理，图片最好是2^n*2^n型的
n=length(f);
n=n/2;
L=zeros(1,n); %低频分量
H=zeros(1,n); %高频分量
for i=1:n
L(i)=(f(2*i-1)+f(2*i))/sqrt(2);
H(i)=(f(2*i-1)-f(2*i))/sqrt(2);
end

end

参考来源：

http://amath.colorado.edu/courses/5720/2000Spr/Labs/Haar/haar.html

http://www.cs.ucf.edu/~mali/haar/

http://wenku.baidu.com/view/7839b821aaea998fcc220eed.html