The Dirichlet Distribution 狄利克雷分布 (PRML 2.2.1)

The Dirichlet Distribution 狄利克雷分布 (PRML 2.2.1)

Dirichlet分布可以看做是分布之上的分布。如何理解这句话，我们可以先举个例子：假设我们有一个骰子，其有六面，分别为{1,2,3,4,5,6}。现在我们做了10000次投掷的实验，得到的实验结果是六面分别出现了{2000,2000,2000,2000,1000,1000}次，如果用每一面出现的次数与试验总数的比值估计这个面出现的概率，则我们得到六面出现的概率，分别为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}。现在，我们还不满足，我们想要做10000次试验，每次试验中我们都投掷骰子10000次。我们想知道，出现这样的情况使得我们认为，骰子六面出现概率为{0.2,0.2,0.2,0.2,0.1,0.1}的概率是多少（说不定下次试验统计得到的概率为{0.1,
0.1, 0.2, 0.2, 0.2, 0.2}这样了）。这样我们就在思考骰子六面出现概率分布这样的分布之上的分布。而这样一个分布就是Dirichlet分布。

首先用上面这一段来点直观印象，然后列一些资料：

维基里面对于狄利克雷分布貌似介绍的挺复杂，不够基础。我找到了一个CMU的PPT：Dirichlet
Distribution, Dirichlet Process and Dirichlet Process Mixture，找到一篇华盛顿大学的《Introduction
to the Dirichlet Distribution and Related Processes》介绍。

发现CMU那个ppt里面讲到，Beta is the conjugate prior of Binomial，有一种原来如此的感觉。嗯，原来贝塔分布是二项分布的共轭先验分布，那么狄利克雷分布就是多项分布的共轭先验分布。所以要看狄利克雷分布，就要先了解多项分布，然后呢，想要了解狄利克雷之于多元的关系，就要先看贝塔分布和伯努利分布的关系。所以，二项分布、beta分布、以及共轭这三点是理解狄利克雷分布的关键基础知识，这个基础知识记录在这里(PRML2.1整小章介绍了这个)。

下面正式进入狄利克雷分布介绍，首先说一下这个多项分布的参数μ。在伯努利分布里，参数μ就是抛硬币取某一面的概率，因为伯努利分布的状态空间只有{0,1}。但是在多项分布里，因为状态空间有K个取值，因此μ变成了向量μ⃗ =(μ1, …, μk)T。多项分布的likelihood函数形式是∏k=1Kμmkk，因此就像选择伯努利分布的共轭先验贝塔函数时那样，狄利克雷分布的函数形式应该如下：

p(μ|α)∝∏k=1Kμαk−1k  式2.37

上式中，∑kμk=1，α⃗ =(α1, …, αk)T是狄利克雷分布的参数。最后把2.37归一化成为真正的狄利克雷分布：

Dir(μ|α)=Γ(α0)Γ(α1)…Γ(αk)∏k=1Kμαk−1k

其中α0=∑k=1Kαk。这个函数跟贝塔分布有点像（取K=2时就是Beta分布）。跟多项分布也有点像。就像Beta分布那样，狄利克雷分布就是它所对应的后验多项分布的参数μ⃗ 的分布，只不过μ是一个向量，下图是当μ⃗ =(μ1,μ2,μ3)时，即只有三个值时狄利克雷概率密度函数的例子。其中中间那个图的三角形表示一个平放的Simplex，三角形三个顶点分别表示μ⃗ =(1,0,0)，μ⃗ =(0,1,0)和μ⃗ =(0,0,1)，因此三角形中间部分的任意一个点就是μ⃗ 的一个取值，纵轴就是这个μ⃗ 的Simplex上的概率密度值(PDF)。

对于参数μ⃗ 的估计时，可知
后验=似然*先验 的函数形式如下：

Kμαk+mk−1k

从这个形式可以看出，后验也是狄利克雷分布。类似于贝塔分布归一化后验的方法，我们把这个后验归一化一下，得到：

p(μ|D,α)=Dir(μ|α+m)=Γ(α0+N)Γ(α1+m1)…Γ(αK+mK)∏k=1Kμαk+mk−1k