题目背景

临近选举,总统要在城市1和城市2举行演讲。他乘汽车完成巡回演讲,从1出发,途中要经过城市2,最后必须回到城市1.特勤局对总统要经过的所有城市监控。为了使得费用最小,必须使得监控的城市最少。求最少要监控的城市。

题目描述

一共有N个城市,有M条有向边。(0<=N,M<=200)有N从1出发途中要经过2,最后要回到1的路线中最少要经过的点的数目。

输入输出格式

输入格式:

第一行包含2个整数N,M。N表示城市的数目,M表示有向边的数目。
接下来M行,每行两个数A,B,表示从A到B有一条有向边。

输出格式:

最少要监控的城市的数量。

输入输出样例

输入样例#1:

6 7
1 3
3 4
4 5
5 1
4 2
2 6
6 3
输出样例#1:

6

说明

0<=N,M<=200

本题数据加强by Imagine

Solution:

  本题最短路+dp。

  我们先用floyd预处理出$w[i][j]$,表示$i\rightarrow j$经过的最少点数(除了i)。

  由于要求$1\rightarrow 2\rightarrow 1$经过的最少点数,而模型是个有向图,考虑dp,定义状态$f[i][j]$表示$1\rightarrow i\rightarrow j\rightarrow 1$经过的最少点数,初始化$f[1][1]=1$,状态转移方程:$f[x][y]=min(f[x][y],f[a][b]+w[b][x]+w[x][y]+w[y][a]-1)$(注意-1是因为a被多算了1次),直接dp显然是有后效性的,注意到每次由小的点对更新状态肯定最优,于是状态转移时套用堆优化dijkstra,用全局最小值$f[a][b]$去更新状态就好了。

  转移时还需注意不能用点对$f[a][b]$更新自己(当a==b时直接RE)。

  时间复杂度$O(n^3\log n)$

代码:

/*Code by 520 -- 9.4*/
#include<bits/stdc++.h>
#include<ext/pb_ds/assoc_container.hpp>
#include<ext/pb_ds/priority_queue.hpp>
#define il inline
#define ll long long
#define RE register
#define For(i,a,b) for(RE int (i)=(a);(i)<=(b);(i)++)
#define Bor(i,a,b) for(RE int (i)=(b);(i)>=(a);(i)--)
using namespace std;
using namespace __gnu_pbds;
const int N=,inf=;
int n,m,w[N][N],dis[N][N];
struct node{
int u,v,d;
bool operator<(const node &a)const{
if(d==a.d&&u==a.u)return v>a.v;
if(d==a.d)return u>a.u;
return d>a.d;
}
};
typedef __gnu_pbds::priority_queue<node,less<node>,pairing_heap_tag> heap;
heap q;
heap::point_iterator id[N][N]; int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
For(i,,n) For(j,,n) w[i][j]=i==j?:inf,dis[i][j]=inf;
int u,v;
while(m--) scanf("%d%d",&u,&v),w[u][v]=;
For(k,,n) For(i,,n) For(j,,n) w[i][j]=min(w[i][j],w[i][k]+w[k][j]);
dis[][]=,id[][]=q.push(node{,,dis[][]});
while(){
node x=q.top();
int a=x.u,b=x.v;q.pop();
if(a==&&b==)break;
For(c,,n) For(d,,n) {
if(a==c&&b==d)continue;
if(dis[a][b]+w[b][c]+w[c][d]+w[d][a]-<dis[c][d]){
dis[c][d]=dis[a][b]+w[b][c]+w[c][d]+w[d][a]-;
if(id[c][d]==)id[c][d]=q.push(node{c,d,dis[c][d]});
else q.modify(id[c][d],node{c,d,dis[c][d]});
}
}
}
cout<<dis[][];
return ;
}

 

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