【动态规划】bzoj1044: [HAOI2008]木棍分割

需要滚动优化或者short int卡空间

Description

　　有n根木棍, 第i根木棍的长度为Li,n根木棍依次连结了一起, 总共有n-1个连接处. 现在允许你最多砍断m个连
接处, 砍完后n根木棍被分成了很多段,要求满足总长度最大的一段长度最小, 并且输出有多少种砍的方法使得总长
度最大的一段长度最小. 并将结果mod 10007。。。

Input

　　输入文件第一行有2个数n,m.接下来n行每行一个正整数Li,表示第i根木棍的长度.n<=50000,0<=m<=min(n-1,10
00),1<=Li<=1000.

Output

　　输出有2个数, 第一个数是总长度最大的一段的长度最小值, 第二个数是有多少种砍的方法使得满足条件.

Sample Input

3 2
1
1
10

Sample Output

10 2

HINT

两种砍的方法: (1)(1)(10)和(1 1)(10)

---

题目分析

昨天做到这道题的稍微强化版：允许空集存在。我那题想法是，强制没有空集，最后再用组合数统计答案。状态$f[i][j]$表示前$i$个数分为$j$个非空集合的方案数，$t[i]$表示最小能够与$i$合并的位置。于是$f[i][j]=\sum_{x=t[i]}^{i}{f[i][j-1]}$。这里有一个$\sum_{i}{f[i][j]}$的形式，自然用前缀和优化。

组合数溢出调了好久……

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const int MO = ;

 int n,m,mxBound,mnBound,ans;
 int a[maxn],s[maxn],t[maxn],g[maxn][maxn];
 int f[maxn][maxn];
 int C[maxn][maxn];

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 bool check(int x)
 {
     int cnt = , sum = ;
     for (int i=; i<=n; i++)
         if (sum+a[i] > x) sum = a[i], cnt++;
         else sum += a[i];
     return cnt <= m;
 }
 int qmi(int a, int b)
 {
     int ret = ;
     while (b)
     {
         if (b&) ret = 1ll*ret*a%MO;
         a = 1ll*a*a%MO, b >>= ;
     }
     return ret;
 }
 int main()
 {
 //    freopen("ex_t2.in","r",stdin);
     n = read(), m = read(), C[][] = ;
     for (int i=; i<=m; i++)
     {
         C[i][] = ;
         for (int j=; j<=i; j++)
             C[i][j] = (C[i-][j]+C[i-][j-])%MO;
     }
     for (int i=; i<=n; i++)
         a[i] = read(), mxBound += a[i], mnBound = mnBound < a[i]?a[i]:mnBound, s[i] = s[i-]+a[i];
     int l = mnBound, r = mxBound, head = , tot = ;
     for (int mid=(l+r)>>; l<=r; mid=(l+r)>>)
         if (check(mid)) ans = mid, r = mid-;
         else l = mid+;
     printf("%d\n",ans);
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         tot += a[i];
         while (tot > ans) tot -= a[head++];
         t[i] = head;
     }
     g[][] = f[][] = , ans = ;
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         g[i][] = ;
         for (int j=; j<=m; j++)
         {
             int delta = g[i-][j-];
             if (t[i]>) delta -= g[t[i]-][j-];
             (f[i][j] += 1ll*delta+MO) %= MO;
             (g[i][j] = 1ll*g[i-][j]+1ll*f[i][j]) %= MO;
         }
     }
     for (int i=; i<=m; i++)
         ans = (ans+1ll*C[m][i]*f[n][i])%MO;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

但是强化版空间512M，这题却只有162M。

首当其冲想到滚动数组优化，不过由于在这题里滚动数组需要把$j$放在枚举的外层，因此在一些奇怪的原因影响下效率会变得非常低。

注意到本题的模数非常小（不知道是不是出题人的善意），于是可以把$f[i][j]$开成short int省去一半空间。

再注意到其实同时开$f[i][j]$与$g[i][j]$是没有必要的，我们完全可以把$f[i][j]$表示成$g[i][j]$的前缀和形式，从而又省去一半空间。

 #include<bits/stdc++.h>
 const int maxn = ;
 const int maxm = ;
 const int MO = ;

 int n,m,mxBound,mnBound,ans;
 int a[maxn],s[maxn],t[maxn];
 short int g[maxn][maxm];

 int read()
 {
     char ch = getchar();
     int num = ;
     bool fl = ;
     for (; !isdigit(ch); ch = getchar())
         if (ch=='-') fl = ;
     for (; isdigit(ch); ch = getchar())
         num = (num<<)+(num<<)+ch-;
     if (fl) num = -num;
     return num;
 }
 bool check(int x)
 {
     int cnt = , sum = ;
     for (int i=; i<=n; i++)
         if (sum+a[i] > x) sum = a[i], cnt++;
         else sum += a[i];
     return cnt <= m;
 }
 int main()
 {
 //     freopen("1044.in","r",stdin);
 //     freopen("1044.out","w",stdout);
     n = read(), m = read()+;
     for (int i=; i<=n; i++)
         a[i] = read(), mxBound += a[i], mnBound = mnBound < a[i]?a[i]:mnBound, s[i] = s[i-]+a[i];
     int l = mnBound, r = mxBound, head = , tot = ;
     for (int mid=(l+r)>>; l<=r; mid=(l+r)>>)
         if (check(mid)) ans = mid, r = mid-;
         else l = mid+;
     printf("%d ",ans);
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         tot += a[i];
         while (tot > ans) tot -= a[head++];
         t[i] = head;
     }
     register int i,j;
     ans = ;
     for (i=; i<=n; i++) g[i][] = ;
     for (int i=; i<=n; i++)
     {
         for (int j=; j<=m; j++)
         {
             int delta = g[i-][j-];
             if (t[i]>) delta -= g[t[i]-][j-];
             (g[i][j] = g[i-][j]+delta) %= MO;
         }
     }
     for (i=; i<=m; i++)
         ans = (ans+g[n][i]-g[n-][i]+MO)%MO;
     printf("%d\n",ans);
     return ;
 }

END