Zoj 3868 GCD Expectation

给一个集合，大小为n ， 求所有子集的gcd 的期望和 。

期望的定义为 这个子集的最大公约数的K次方 ；

每个元素被选中的概率是等可能的

即概率 p = (发生的事件数)/(总的事件数);

总的事件数 = 2^n -1; 大小为n的集合的非空子集个数为2^n -1

期望 = p(i) *i;

= 1*p(1) + 2*p(2) + ... +n*p(n);

设x发生的事件数为 dp[x] ， 则上式可化简为：

=1*dp[1]/(2^n-1) + 2*dp[2]/(2^n-1) + ... +n*dp[n]/(2^n-1);

=1/(2^n-1)*(1*dp[1] + 2*dp[2] + ... + n*dp[n]);

题目要求最后所得结果乘以 (2^n-1);

所以式子最后化简为：1*dp[1] + 2*dp[2] + ... + n*dp[n]

即问题转化为求gcd = i 的子集数

假设gcd = m*i (m = 0,1,2,3,... && m*i <= max_num)的个数为dp[i]个

那么gcd = i 的个数则为 for(int j= i + i ; j <= max_num ; j += i) dp[i]-=dp[j] ;

则期望为：dp[1] * 1^k + dp[2] * 2^k + ... dp[i] * i^k ;

 #include <cstdio>
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 #include <iterator>
 using namespace std;
 #define MAXN 1000010
 #define INF 0x3f3f3f3f
 #define MOD 998244353
 #define eps 1e-6
 #define LL long long
 int num[MAXN];
 LL dp[MAXN];
 //dp[i] = 2^x -1 ; gcd = n*i;
 //for(int j = i ; j <= max_num ; j += i) dp[i] -= dp[j];
 LL qpow(LL x , LL k)
 {
     LL res=;
     while(k)
     {
         if(k & ) res = res * x % MOD;
         x = x * x % MOD;
         k >>= ;
     }
     return res;
 }

 int main()
 {
     int T;
     int n,k;
     LL ans;
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d %d",&n,&k);
         int x;
         int max_num = ;
         int cunt = ;
         memset(num ,  , sizeof(num));
         memset(dp ,  , sizeof(dp));
         for(int i =  ; i < n ; i ++)
         {
             scanf("%d",&x);
             num[x] ++;
             max_num = max(x , max_num);
         }

         ans = ;
         for(int i = max_num ; i >=  ; i --)
         {
             cunt = ;
             dp[i] = ;
             for(int j = i ; j <= max_num ; j += i)
             {
                 cunt += num[j];
                 if(j > i) dp[i] = (dp[i] - dp[j] + MOD) % MOD;
             }
             dp[i] = (dp[i] + qpow( , cunt) -  + MOD) % MOD;
             ans = (ans + (dp[i] * qpow(i , k)) % MOD ) % MOD;
         }
         printf("%d\n",(int)ans);
     }
     return ;
 }