[PeterDLax著泛函分析习题参考解答]第6章 Hilbert 空间

1. 证明满足 (6) 的范数可以由一个内积诱导出来. 这个结论属于 von Neumann.

证明: 以实线性空间为例, 取内积 $$\bex \sex{x,y}=\cfrac{1}{4}[\sen{x+y}^2-\sen{x-y}^2], \eex$$ 则 $\sex{x,y}$ 为内积, 且 $\sex{x,x}^\frac{1}{2}=\sen{x}$.

2. 证明内积连续地依赖于它的因子, 即若 $x_n\to x$, $y_n\to y$ (这意味着 $\sen{x_n-x}\to 0$, $\sen{y_n-y}\to 0$), 则 $(x_n,y_n)\to (x,y)$.

证明: $$\beex \bea \sev{(x_n,y_n)-(x,y)} &\leq \sev{(x_n,y_n-y)}+\sev{(x_n-x,y)}\\ &\leq \sen{x_n}\cdot \sen{y_n-y} +\sen{x_n-x}\cdot \sen{y}\\ &\leq \max\sed{\max_n \sen{x_n},\sen{y}}\cdot \sez{\sen{y_n-y}+\sen{x_n-x}}. \eea \eeex$$

3. 证明 $\ell^2$ 是完备的内积空间.

证明: $\ell^2$ 的完备性已然在 Page 31 (b) 中说明.

4. 证明引理 5.

证明: (i) 设 $l$ 是线性空间 $X$ 上的非零线性泛函, $$\bex N_l=\sed{x\in X;\ l(x)=0}. \eex$$ 取 $y\in X$ 使得 $l(y)\neq 0$, 则 $$\bee\label{6_4_sum} X=N_l\oplus \span\sed{y}. \eee$$事实上, 显然 $N_l\cap \span\sed{y}=\sed{0}$, $$\bex x=\sez{x-\cfrac{l(x)}{l(y)}y}+\cfrac{l(x)}{l(y)}y\in N_l+\span\sed{y}. \eex$$ 由 \eqref{6_4_sum}, 第 2 章习题 8 即知 $$\bex \codim N_l=1. \eex$$ (ii) 若 $l,m$ 中某一为零泛函, 则显然结论成立, 不然, $$\bex N\equiv N_l=N_m,\quad \codim N=1. \eex$$ 取 $y\in X$ 使得 $l(y)\neq0$, 则 $m(y)\neq 0$, 设 $$\bex l(y)=c_1\cdot m(y), \eex$$ 则 $$\beex \bea l(n+ky)&=k\cdot l(y)\quad\sex{\forall\ n\in N,\ \forall\ k}\\ &=k\cdot c_1\cdot m(y)\\ &=c_1\cdot m(ky)\\ &=c_1\cdot m(n+ky). \eea \eeex$$ (iii) 设 $N_l\ni x_n\to x$, 则由 $l$ 的连续性, $$\bex l(x_n)=0\ra l(x)=0\ra x\in N_l. \eex$$

5. 证明一个集合的闭线性张是它的线性张的闭包.

证明: 设 $S$ 是一个集合, 一方面, $S$ 的线性张的闭包 $W$ 是闭线性子空间 (Page 30 定理 2); 另一方面, 任一包含 $S$ 的闭线性子空间均包含 $W$. 故有结论.

6. 证明引理 8.

证明: 由 $\dps{\sum|a_j|^2<\infty}$ 知 $\forall\ k$, $\sed{j; |a_j|>1/k}$ 均为有限集, 而 $\sed{j; a_j\neq 0}$ 是可数的. 故 (27) 为可数和 $\dps{x=\vsm{j}a_jx_j}$. 又由 $$\beex \bea \sev{\sum_{j=k}^l a_jx_j}^2&=\sex{\sum_{j=k}^l a_jx_j,\sum_{j=k}^l a_jx_j}\\ &=\sum_{j=k}^l |a_j|^2\\ &\to 0\quad\sex{k\to\infty} \eea \eeex$$ 及 $H$ 完备知 $\dps{\vsm{j}a_jx_j}$ 是收敛的. 据内积的连续性易知 $$\bex \sen{x}^2=\sex{x,x}=\vsm{j}|a_j|^2,\quad a_j=(x,x_j). \eex$$ 记 $$\bex Y=\sed{x=\vsm{j}a_jx_j;\ \vsm{j}|a_j|^2<\infty,\ \sed{x_j}\mbox{ 为任一可数的标准正交子集}}, \eex$$ 则由定理 7 知 $Y$ 为 $\sed{x_j}$ 的闭线性包.

7. 证明定理 $9'$.

证明: 取 $$\bex \ba{ll} z_1=x_1,&y_1=\cfrac{z_1}{\sen{z_1}},\\ z_2=x_2-(x_2,y_1)y_1,&y_2=\cfrac{z_2}{\sen{z_2}},\\ \cdots,&\cdots,\\ z_n=x_n-\sum_{j=1}^{n-1}(x_n,y_j)y_j,&y_n=\cfrac{z_n}{\sen{z_n}} \ea \eex$$ 即可.

8. 设 $H$ 是一个 Hilbert 空间. 证明 $H$ 的任意两个标准正交基的基数相同.

证明: 设 $\sed{x_j}$, $\sed{y_k}$ 为 $H$ 的两个标准正交基, 则 $$\bex x=\sum a_jx_j=\sum b_ky_k, \eex$$ 其中 $$\bex \sum |a_j|^2<\infty,\quad\sum |b_k|^2<\infty,\quad a_j=(x,x_j),\quad b_k=(x,y_k). \eex$$ 特别地, $$\bex y_k=\sum (y_k,x_j)x_j,\quad x_j=\sum (x_j,y_k)y_k. \eex$$ 这样, $$\bex y_k\mapsto \sed{(y_k,x_j)}_j,\quad x_j\mapsto \sed{(x_j,y_k)}_k \eex$$ 定义了 $\sed{y_k}_k$ 到 $\sed{(y_k,x_j)}_{k,j}$, $\sed{x_j}_j$ 到 $\sed{(x_j,y_k)}_{j,k}$ 的双射. 又由 $$\bex \overline{(y_k,x_j)}=(x_j,y_k) \eex$$ 给出了 $\sed{(y_k,x_j)}_{k,j}$ 与 $\sed{(x_j,y_k)}_{j,k}$ 之间的双射. 而存在 $\sed{y_k}_k$ 与 $\sed{x_j}_j$ 之间的双射, 它们的基数是相同的.

9. 证明定理 10.

证明: 设 ${\bf M}: x\to y$. 则 $$\bex \sen{{\bf M} x}^2=\sen{y}^2=\sum |a_j|^2=\sen{x}^2. \eex$$ 于是 ${\bf M}$ 为等距. 另外, 设 ${\bf A}:H\to H$ 是等距, $\sed{x_j}$ 为 $H$ 的一个标准正交基, 则由等距的性质, $\sed{{\bf A} x_j}$ 也为 $H$的一个标准正交基．这样, $$\bex {\bf A}:\quad H\ni x=\sum a_jx_j\mapsto {\bf A} x=\sum a_j({\bf A} x_j)\in H. \eex$$ 注意: 按照习题 6 的证明, 上述求和其实是可数求和.

10. 证明, 每个可分的无限维 Hilbert 控股你就按都同构于空间 $\ell^2$, 其中 $\ell^2$ 是由满足 $$\bex \sen{x}^2=\sum |a_j|^2<\infty \eex$$ 的向量 $x=(a_1,a_2,\cdots)$ 构成的线性空间.

证明: 取定 $H$ 的一个标准正交基 $\sed{x_j}_{j=1}^\infty$, 则 $$\bex H\ni \vsm{j}a_jx_j\mapsto \sed{a_j}\in \ell^2 \eex$$ 给出了一个等距同构.

错误指出:

Page 48, 第 4 行, $u$ 前面加上非零两字.