【codeforces 785D】Anton and School - 2

【题目链接】:http://codeforces.com/contest/785/problem/D

【题意】



给你一个长度为n的括号序列;

让你删掉若干个括号之后,整个序列变成前x个括号为左括号,后x个括号为右括号;

问你有多少种删除方法.

【题解】



先考虑一个简单的问题

对于一个括号序列,如果前x个括号都是左括号,后y个括号都是右括号;

((())))

那么这个序列的RSBS的个数为C(X+Y,X)

即相当于构造一个长度为x+y的序列,包含x个1,y个0

如上述括号序列



这里即构造一个长度为7的数字序列,里面含有3个1和4个0

这里选择0对应的左括号和1对应的右括号;

可以发现它们能够构成满足要求的序列

如上图的绿色部分;

这里相当于确定有几个左括号被抵消;

假如有1个左括号对应的数字是1,那么就相应的有3-1个右括号对应的数字是1;

这样刚好和两个左括号对应;

很巧妙的方法吧。

所以这个序列的答案就是C(7,3)

当然上面说的是简化版本的问题；

考虑完整的问题;

我们可以枚举每一个左括号

假设这个左括号是最后的RBSB的括号序列的最后一个左括号;

即这个左括号左边只能是左括号,右边只能是右括号了;

则

我们用前缀和处理出这个左括号前面有多少个左括号,这个左括号后面有多少个右括号；

分别设为x和y;

瞧；

这就变成我们刚才所讨论的问题了;

则答案应该是C(X+Y-1,X),因为这个时候已经确定有一个左括号(即枚举的这个最后一个左括号已经确定了),所以只剩下x+y-1个位置来放那个1了；

这里X+Y会很大;不能写递推式；

只能先求出1..200000的阶乘模和对应的乘法逆元;

然后用C(N,M)=N!/((N-M)!M!)来算



【完整代码】

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define lson l,m,rt<<1
#define rson m+1,r,rt<<1|1
#define LL long long
#define rep1(i,a,b) for (int i = a;i <= b;i++)
#define rep2(i,a,b) for (int i = a;i >= b;i--)
#define mp make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define rei(x) scanf("%d",&x)
#define rel(x) scanf("%lld",&x)
#define ref(x) scanf("%lf",&x)

typedef pair<int, int> pii;
typedef pair<LL, LL> pll;

const int dx[9] = { 0,1,-1,0,0,-1,-1,1,1 };
const int dy[9] = { 0,0,0,-1,1,-1,1,-1,1 };
const double pi = acos(-1.0);
const int N = 2e5 + 100;
const LL MOD = 1e9 + 7;

LL fac[N],inv_fac[N],ans;
int l[N], r[N],n;
char s[N];

LL ksm(LL x, LL y)
{
    if (y == 1) return x;
    LL temp = ksm(x, y >> 1);
    temp = (temp*temp)%MOD;
    if (y & 1)
        temp = (temp*x) % MOD;
    return temp;
}

LL C(LL n, LL m)
{
    if (n < m) return 0;
    return (((fac[n] * inv_fac[n - m]) % MOD)*inv_fac[m]) % MOD;
}

int main()
{
    //freopen("F:\\rush.txt", "r", stdin);
    fac[0] = 1, inv_fac[0] = 1;
    rep1(i, 1, 2e5)
        fac[i] = (1LL * fac[i - 1] * i) % MOD, inv_fac[i] = ksm(fac[i], MOD - 2);
    scanf("%s", s + 1);
    n = strlen(s + 1);
    rep1(i, 1, n)
        if (s[i] == '(')
            l[i] = l[i - 1] + 1;
        else
            l[i] = l[i - 1];
    rep2(i, n, 1)
        if (s[i] == ')')
            r[i] = r[i + 1] + 1;
        else
            r[i] = r[i + 1];
    rep1(i,1,n)
        if (s[i] == '(')
        {
            ans = (ans + C(l[i] + r[i] - 1, l[i]))%MOD;
        }
    printf("%lld\n", ans);
    //printf("\n%.2lf sec \n", (double)clock() / CLOCKS_PER_SEC);
    return 0;
}