HDU 6125 Free from square (状压DP+分组背包)

题目大意：让你在1~n中选择不多于k个数(n,k<=500)，保证它们的乘积不能被平方数整除。求选择的方案数

因为质数的平方在500以内的只有8个，所以我们考虑状压

先找出在n以内所有平方数小于等于n的质数，然后我们把它们作为状压的状态

然后要对每个小于n数进行状压，如果它不能被它能被质数的平方整除，那就筛出它所有的在状态内的质因子，大于状态内的质因子我们存到剩余因子的乘积的部分里

比如46，它的状态可以表示成0000 0001 (19,17,13,11,7,5,3,2)  46/2=23，把它存到23的0000 0001状态里

这么做之后，你会惊奇的发现，每个数字只被存到了一个地方，且只被存了一次！

而这也是分组背包可行的关键

下一步就是分组背包了

我们从1遍历到n，遍历所有状态，如果存了，意味着这个状态表示的数可以选一个，就++

然后枚举上一层进行转移即可

细节可以看代码

 #include <cstdio>
 #include <algorithm>
 #include <cstring>
 #include <vector>
 #define N 100
 #define M 505
 #define maxn (1<<8)+5
 #define ll long long
 #define mod 1000000007
 using namespace std;

 int T,n,m,cnt,K;
 ll f[][M][maxn],tmp[M][maxn];
 int p[M],ok[M],pr[M],can[M][maxn],use[M];
 int a[]={,,,,,,,,,};
 vector<int>to[M];
 void clr()
 {
     for(int i=;i<M;i++) to[i].clear();
     memset(p,,sizeof(p));
     memset(ok,,sizeof(ok));
     memset(pr,,sizeof(pr));
     memset(can,,sizeof(can));
     memset(use,,sizeof(use));
     memset(f,,sizeof(f));
     cnt=;
 }
 void get_P()
 {
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         if(!use[i]) pr[cnt++]=i;
         for(int j=;j<cnt&&i*pr[j]<=n;j++){
             use[i*pr[j]]=;
             if(i%pr[j]==) break;}
     }
     for(int i=;i<=n;i++)
     {
         int x=i,ps=;
         for(int j=;j<min(K,);j++)
             if(x%(pr[j]*pr[j])==) {
                 ok[i]=-,p[i]=;
                 break;
             }else if(ok[i]!=-&&x%pr[j]==)
             {
                 p[i]|=(<<j);
                 x/=pr[j];
             }
         if(ok[i]!=-)
         {
             if(x!=) to[x].push_back(i);
             else     to[i].push_back(i);
         }
     }
     for(int i=;i<=n;i++) //can数组表示i是否存了能用某个二进制质因子表示的数
     {
         if(ok[i]==-) continue;
         for(int j=;j<to[i].size();j++)
             can[i][p[to[i][j]]]=;
     }
 }

 int main()
 {
     //freopen("aa.in","r",stdin);
     scanf("%d",&T);
     while(T--)
     {
         scanf("%d%d",&n,&m);
         clr();
         K=;
         while(K+<=&&a[K+]*a[K+]<=n) K++;
         get_P();
         int y=,x=;
         for(int i=;i<=n;i++){ //分组背包
             if(!to[i].size()) continue;
             for(int s1=;s1<(<<K);s1++)
                 for(int j=;j<=m;j++)
                     f[y][j][s1]=f[x][j][s1];
             for(int s1=;s1<(<<K);s1++)
             {
                 if(!can[i][s1]) continue;
                 f[y][][s1]=(f[y][][s1]+)%mod;
             //如果i的状态里有s1，那么说明这个状态表示的数可以直接被选，就++
                 for(int j=;j<=m;j++)
                     for(int s2=;s2<(<<K);s2++)
                     {
                         if(s1&s2) continue;
                         f[y][j][s1|s2]+=f[x][j-][s2];
                         f[y][j][s1|s2]%=mod;
                     }
             }
             swap(y,x);
         }
         ll ans=;
         for(int s=;s<(<<K);s++)
             for(int j=;j<=m;j++)
                 ans=(ans+f[x][j][s])%mod;
         printf("%lld\n",ans);
     }
     return ;
 }