【函数式】Monads模式初探——Endofunctor

自函子

自函子（Endofunctor）是一个将范畴映射到自身的函子（A functor that maps a category to itself）。

函子是将一个范畴转换到另一个范畴。所以自函子是一种特殊的函子。

由三部分组成：

1. 一组元素对象
2. 一组态射
3. 态射组合（二元运算）

假设这个范畴满足结合律，那么它是一个半群；假设半群满足幺元（单位元。identity），那么它是幺半群（Monoid）。

因此。函子是将一个Monoid中的元素对象映射到另外一个Monoid的元素对象，态射也是这么映射的。而自函子映射的这两个Monoid是同一个。

假设这个自函子为F。则对于F[Int]作用的结果仍是Int。对于函数f: Int=>String映射的结果F[f]也仍是函数f。所以自函子对范畴中的元素和关系不做不论什么改变。

Hask范畴

Haskell里的全部类型和函数都放到一个范畴里，取名为Hask。



解释上图，A,B代表普通类型如String,Int,Boolean等，这些(有限的)普通类型是一组类型集合，另一组类型集合是衍生类型(即由类型构造器与类型參数组成的)，这是一个无限集合(能够无限衍生下去)。这样范畴Hask就涵盖了haskell中全部的类型。

对于范畴Hask来说。假设有一个函子F。对里面的元素映射后，其结果仍属于Hask，比方我们用List这个函子：

List[A], List[List[A]], List[List[List[A]]]…

发现这些映射的结果也是属于Hask范畴(子集)，所以这是一个自函子，实际上在Hask范畴上的全部函子都是自函子。

分形

Hask范畴结构是一个分形（fractal）结构。



如上面的这片叶子。它的每一簇分支。形状上与总体的形状是全然一样的，即局部与总体是一致的结构。而且局部能够再分解下去。

这样的结构在函数式语言里也是非经常常使用的。最典型的如List结构，由head和tail两部分组合而成。而每一个tail也是一个List结构，能够递归的分解下去。

特别说明

因为关于自函子的中文介绍比較少，所以这篇文章我基本都是引用hongjiang的自函子(Endofunctor)是什么。

希望加深理解之后。再填充很多其它原创内容。

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