https://www.zhihu.com/question/28062458

http://blog.csdn.net/hikean/article/details/9749391

对于Fibonacci数列,1,1,2,3,5,8,13,21...

   F(0) = 1, F(1) = 1, F(i) = F(i-1) + F(i-2) 求解第n项。
1、递归
long fib(int n)
{
if (n == || n == )
{
return ;
}
return fib(n-) + fib(n-);
}
    这是最好写,也是效率最低的方法,时间复杂度是指数级别的。
2、遍历
long fib(int n)
{
if (n == || n == )
{
return ;
}
vector <long> fibs(, );
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
fibs.push_back(fibs[i-] + fibs[i-]);
}
return fibs[n];
}
    这个方法也是很容易想到的,时间复杂度是 O(n), 空间复杂度也是 O(n)。
3、遍历优化版
    fibs[n]只和前两个元素相关,因此任意时刻我们只要有前两项就可以了。这样空间复杂度可以做到 O(1),我们用个循环数组就可以了。
long fib(int n)
{
if (n == || n == )
{
return ;
} int fib[];
fib[] = fib[] = ;
int idx = ;
for (int i = ; i <= n; ++i)
{
idx = (idx + ) % ;
fib[idx] = fib[(idx + )%] + fib[(idx + )%];
}
return fib[idx];
}
4、矩阵相乘
    把一维问题拉到二维。

所以,

    现在问题是如何快速计算一个矩阵的n次方。这里可以利用A^n = A^(n/2)*A^(n/2) * (n % 2 == 1 ? A : I)进行分治。
matrix power(matrix A, int n)
{
matrix ans = I;
while(n > )
{
if (n % == )
{
ans *= A;
}
A *= A;
n /= ;
}
return ans;
}

这个算法的时间复杂度是O(logN).

5、特征值分解

对于矩阵的 n 次方求解,可以通过矩阵的特征值分解来完成。过程如下:

6、差分方程求解
    如果了解差分方程,那么这个解析解就很容易得到了。

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