[笔记] 2-sat

定义

简单的说就是给出 \(n\) 个集合，每个集合有两个元素，已知形如选 \(a\) 则必须选 \(b\) 的若干个条件，

问是否存在从每个集合选择一个元素满足条件的方案，通常可以题目只要求任意一种方案。

输出方案

• 对建出的图进行缩点；

• 若二选一的某对变量在同一强连通分量，无解；

• 如果只需要一组可行解，选择拓扑排序编号靠后，即强连通分量编号靠前的；

• 如果要字典序最小的方案，就 dfs 选方案。

常见连边方式

重点在于理解边的含义，\(a\) 向 \(b\) 连边表示，如果选了 \(a\) 则必须选 \(b\)。

• \(i,j\) 至少一个为真：\(i'\rightarrow j,j'\rightarrow i\)

• \(i,j\) 只有一个为真： \(i\rightarrow j',j\rightarrow i'\)

• \(i\) 必须为真：\(i'\rightarrow i\)

常见元素含义

一般来说，理解为某一状态是否成立，需要注意的是，状态可能是非独立的，而是存在偏序关系的状态。

• 是否 \(\le x\)：[51nod]1318 最大公约数与最小公倍数方程组
• 是否在 \(x\) 的子树内：[YZOJ]7115 Mythological V