【笔记】入门DP

复习一下近期练习的入门 \(DP\) 。巨佬勿喷。\(qwq\)

重新写一遍练手，加深理解。

代码已经处理，虽然很明显，但请勿未理解就贺 \(qwq\)

0X00 P1057 [NOIP2008 普及组] 传球游戏

设 \(f[i][j]\) 表示传球 \(i\) 次后传到第 \(j\) 个人的方案数。

设小蛮为 \(1\) 号，则初始化 \(f[1][n]=1\)，\(f[1][2]=1\)。

转移方程为 \(f[i][j]=f[i-1][j-1]+f[i-1][j+1]\) 只需特判 \(1\) 的左边变为 \(n\) ，\(n\) 的右边变为 \(1\) 即可。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[35][35],n,m;
int turn(int x){
	return x==n+1?1:(x==0?n:x);
}
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    f[1][n]=f[1][2]=1;
    for(int i=2;i<=m;i++){
    	for(int j=1;j<=n;j++){
    		f[i][j]=f[i-1][turn(j-1)]+f[i-1][turn(j+1)];
		}
	}
	printf("%d",f[m][1]);
    return 73;
}

0X01 P1060 [NOIP2006 普及组] 开心的金明

emmm。背包板题。纯属练手。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,t,v[35],p[35],f[30005];
int main(){
    scanf("%d%d",&t,&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d",&v[i],&p[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=t;j>=v[i];j--) f[j]=max(f[j],f[j-v[i]]+p[i]*v[i]);
	}
	printf("%d",f[t]);
    return 76;
}

0X02 P1509 找啊找啊找GF

不得不说题面有点那啥

二维的背包，因为有 \(rmb\) 和 \(rp\) 两个条件要考虑。

同时这题也需要两个 \(DP\) 数组。一个 \(fn[i][j]\) 记录：花费 \(i\) 的 \(rmb\) ， \(j\) 的 \(rp\) 可以约的 MM 数量。另一个 \(ft[i][j]\) 记录：花费 \(i\) 的 \(rmb\) ， \(j\) 的 \(rp\) 最小的花费时间。

因为数组变量太长了看着不舒服，所以我把转移写成了这样：

int t1=fn[j-rmb[i]][k-rp[i]]+1,t2=ft[j-rmb[i]][k-rp[i]]+tim[i];
if(fn[j][k]<t1){      //如果人数更多就一定更优
	fn[j][k]=t1;
	ft[j][k]=t2;
}
if(fn[j][k]==t1) ft[j][k]=min(ft[j][k],t2);    //人数相等看能不能更新ft

幸好我没有 sqybi 这种痛苦

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,rmb[105],rp[105],tim[105],m,r;
int fn[105][105],ft[105][105];
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d%d%d",&rmb[i],&rp[i],&tim[i]);
	scanf("%d%d",&m,&r);
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=m;j>=rmb[i];j--){
			for(int k=r;k>=rp[i];k--){
				int t1=fn[j-rmb[i]][k-rp[i]]+1,t2=ft[j-rmb[i]][k-rp[i]]+tim[i];
				if(fn[j][k]<t1){
					fn[j][k]=t1;
					ft[j][k]=t2;
				}
				if(fn[j][k]==t1) ft[j][k]=min(ft[j][k],t2);
			}
		}
	}
	printf("%d",ft[m][r]);
	return 111;
}

0X03 P1091 [NOIP2004 提高组] 合唱队形

用 \(DP\) 跑一遍到每个点的最大上升子序列，再跑一遍倒序的最大下降子序列，最后求可以留下来的 \(max\) ，用 \(n\) 减掉即可。

用 \(f[0][i]\) 表示最大上升子序列， \(f[1][i]\) 表示最大下降子序列。因为相等的也会出列，所以注意不加等号。

同时也可以用这个思路过 未加强的导弹拦截。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n,a[105],f[2][105],ans;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i]);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=0;j<i;j++){
    		if(a[i]>a[j]) f[0][i]=max(f[0][i],f[0][j]+1);
		}
	}
    for(int i=n;i>=1;i--){
    	for(int j=n+1;j>i;j--){
    		if(a[i]>a[j]) f[1][i]=max(f[1][i],f[1][j]+1);
		}
	}
    for(int i=1;i<=n;i++) ans=max(f[0][i]+f[1][i]-1,ans);
    printf("%d",n-ans);
    return 118;
}

0X04 P1279 字串距离

用 \(f[i][j]\) 表示 \(A\) 字符串取到前 \(i\) 位， \(B\) 字符串取到前 \(j\) 位时，答案的最小值。

因为求最小值，所以把 \(f\) 初始化为极大值。再把 \(f[0][0]\) 初始化为 \(0\)，将所有的 \(f[0][i]\) 与 \(f[i][0]\) 初始化为 \(i \times k\) （\(k\) 为空格与字符匹配代价，也就是初始化全是空格的情况）。

转移时分类讨论：

首先考虑一个字符与一个空格匹配的情况，得出 \(f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i][j-1],f[i-1][j])+k)\)。

再考虑两个字符匹配的情况，得出 \(f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+abs(a[i]-b[j]))\)。

空格与空格匹配没有意义。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
string x,y;
int a[2005],b[2005],f[2005][2005],n,m,k;
void init(){
	for(int i=0;i<n;i++) a[i+1]=x[i];
	for(int i=0;i<m;i++) b[i+1]=y[i];
	memset(f,0x3f,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=max(m,n);i++) f[i][0]=f[0][i]=i*k;
}
int main(){
	cin>>x>>y;
	n=x.size(),m=y.size();
	scanf("%d",&k);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i][j-1],f[i-1][j])+k);
			f[i][j]=min(f[i][j],f[i-1][j-1]+abs(a[i]-b[j]));
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 101;
}

注意，双倍经验 ↓ ↓ ↓

0X05 P1140 相似基因

大体思路和上一题相同，只要把匹配的分值改成题目给的表即可。（我才不会告诉你我第一次抄错了）

还要注意一下初始化和转移的小改动。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[105],b[105],f[105][105],n,m;
string x,y;
int t[5][5]{
	{5,-1,-2,-1,-3},
	{-1,5,-3,-2,-4},
	{-2,-3,5,-2,-2},
	{-1,-2,-2,5,-1},
	{-3,-4,-2,-1,0}
};
void turn(int n,int a[],string s){
	for(int i=0;i<n;i++){
		if(s[i]=='A') a[i+1]=0;
		if(s[i]=='C') a[i+1]=1;
		if(s[i]=='G') a[i+1]=2;
		if(s[i]=='T') a[i+1]=3;
	}
}
void init(){
	memset(f,-0x3f,sizeof(f));
	f[0][0]=0;
	for(int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=f[i-1][0]+t[a[i]][4];
	for(int i=1;i<=m;i++) f[0][i]=f[0][i-1]+t[4][b[i]];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);cin>>x;
	scanf("%d",&m);cin>>y;
	turn(n,a,x);turn(m,b,y);
	init();
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			f[i][j]=max(f[i-1][j]+t[a[i]][4],f[i][j-1]+t[4][b[j]]);
			f[i][j]=max(f[i][j],f[i-1][j-1]+t[a[i]][b[j]]);
		}
	}
	printf("%d",f[n][m]);
	return 67;
}

0X06 P1006 [NOIP2008 提高组] 传纸条

可以看成是走两条不相交的，从 \((1,1)\) 到 \((n,m)\) 的路径的最大值。

设 \(f[i][j][x][y]\) 表示第一条走到 \((i,j)\)，第二条走到 \((x,y)\) 时的最大值。

转移方程：

\(f[i][j][x][y]=\)

$max {f[i-1][j][x-1][y],f[i][j-1][x][y-1],

f[i][j-1][x-1][y],f[i-1][j][x][y-1] } $

\(+a[i][j]+a[x][y]\)

注意，因为两条路不能走到同一个点，所以当 \(i=x\) 并且 \(j=y\) 时，\(f[i][j][x][y]\) 要减掉 \(a[i][j]\)。

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[55][55][55][55],a[55][55],n,m;
int main(){
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i=1;i<=n;i++){
    	for(int j=1;j<=m;j++) scanf("%d",&a[i][j]);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			for(int x=1;x<=n;x++){
				for(int y=1;y<=m;y++){
					int t=max(max(f[i-1][j][x-1][y],f[i][j-1][x][y-1]),
					          max(f[i][j-1][x-1][y],f[i-1][j][x][y-1]));
					f[i][j][x][y]=t+a[i][j]+a[x][y];
					if(i==x&&j==y) f[i][j][x][y]-=a[i][j];
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",f[n][m][n][m]);
    return 89;
}

注意，双倍经验 ↓ ↓ ↓

0X07 P1004 [NOIP2000 提高组] 方格取数

前一题题意化简版，范围也更小。改一下读入和输出即可。

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[15][15][15][15],a[15][15],n;
int u,v,c;
int main(){
    scanf("%d",&n);
    for( ; ; ){
    	scanf("%d%d%d",&u,&v,&c);
    	if(u==0&&v==0&&c==0) break;
    	a[u][v]=c;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=n;j++){
			for(int x=1;x<=n;x++){
				for(int y=1;y<=n;y++){
					int t=max(max(f[i-1][j][x-1][y],f[i][j-1][x][y-1]),
					          max(f[i][j-1][x-1][y],f[i-1][j][x][y-1]));
					f[i][j][x][y]=t+a[i][j]+a[x][y];
					if(i==x&&j==y) f[i][j][x][y]-=a[i][j];
				}
			}
		}
	}
	printf("%d",f[n][n][n][n]);
    return 89;
}

0X08 P1435 [IOI2000]回文字串/[蓝桥杯2016省]密码脱落

设 \(f[i][j]\) 表示 将从 \(i\) 到 \(j\) 的字串变为回文最少要插入的字符数。

此时我们只需要枚举区间长度 \(k\) 和 左端点 \(i\)，可以计算出右端点 \(j=i+k\)（直接枚举 \(i\) 和 \(j\) 是错误的）。

由此可以得出对于区间 \((i,j)\) 的转移方程：

若 \(s[i]=s[j]\)：\(f[i][j]=f[i+1][j-1]\) （不用改）

若 \(s[i] \ne s[j]\) ：\(f[i][j]=min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1\) （取较小值加一次）

Code：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[1005][1005],n;
string s;
int main(){
	cin>>s;
	n=s.size();
	for(int i=n;i>=1;i--) s[i]=s[i-1];
	for(int k=1;k<n;k++){
		for(int i=1;i<=n-k;i++){
			int j=i+k;
			if(s[i]==s[j]) f[i][j]=f[i+1][j-1];
			else f[i][j]=min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1;
		}
	}
	printf("%d",f[1][n]);
	return 33;
}