CF1037G A Game on Strings Sol

有趣题。

首先"分成若干个互不相干的子串"是子游戏的定义，可以用 SG 函数处理。

然而接下来试着打了半个多小时的表，没有找到任何规律。

但是发现 SG 函数的状态转移是很简单的。一般 SG 函数难以优化的点在于 \(\text{MEX}\) 操作不太平易近人，这道题中让你取 \(\text{MEX}\) 的只有 26 个数完全可以暴力去做。

进一步地，我们想到这道题中能够成为”子游戏“的子区间是很有限的，对于删去某个字符形成的若干段字符串，只有这些串的前缀后缀是需要计算 SG 函数的。

所以我们只需要按照这些串的长度从小到大计算 SG 值即可。

TLE submission

然而事情并不是那么美好，如果没注意好实现细节直接拿 std::map 维护 SG 值会多 \(\log\)，复杂度达到了 \(O(n|\Sigma|^2\log n)\)。

于是重构了一遍代码，考虑按右端点和串长度双关键字的顺序计算这些区间，并且用合适的数组替换掉数据结构，复杂度 \(O(n|\Sigma|^2)\)。

这道题实现还是很有技巧的，应该要有 implementation 的标签。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=100003;
char s[N];
int n,q;
int a[N][26],fa[N][26];
int b[N][26],fb[N][26];
int f[N],cur[26];
int calc(int l,int r){
	if(l>r) return 0;
	unsigned int st=0;
	for(int c=0;c<26;++c){
		int pl=a[l][c],pr=b[r][c];
		if(pl<=pr) st|=1u<<(f[pl]^f[pr]^fa[l][c]^fb[r][c]);
	}
	return __builtin_ctz(~st);
}
int stk[26];
int main(){
	scanf("%s",s+1);
	n=strlen(s+1);
	for(int c=0;c<26;++c) a[n+1][c]=n+1;
	for(int i=n;i;--i){
		memcpy(a[i],a[i+1],104);
		a[i][s[i]-97]=i;
	}
	for(int c=0;c<26;++c) b[0][c]=0;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		memcpy(b[i],b[i-1],104);
		b[i][s[i]-97]=i;
	}
	for(int c=0;c<26;++c) stk[c]=c;
	for(int i=1;i<=n;++i){
		int c=s[i]-97;
		f[i]=f[cur[c]]^fb[i-1][c];cur[c]=i;
		sort(stk,stk+26,[&](int x,int y){return b[i][x]>b[i][y];});
		for(int t=0;t<26;++t){
			int o=stk[t];
			if(b[i][o]<i) fb[i][o]=calc(b[i][o]+1,i);
		}
		if(i<n){
			int cc=s[i+1]-97;
			for(int j=i;j>cur[cc];--j) fa[j][cc]=calc(j,i);
		}
	}
	scanf("%d",&q);
	while(q--){
		int l,r;
		scanf("%d%d",&l,&r);
		if(calc(l,r)) puts("Alice");
		else puts("Bob");
	}
	return 0;
}