完全平方数 HYSBZ - 2440 (莫比乌斯函数容斥)

完全平方数

小 X 自幼就很喜欢数。但奇怪的是，他十分讨厌完全平方数。他觉得这些

数看起来很令人难受。由此，他也讨厌所有是完全平方数的正整数倍的数。然而

这丝毫不影响他对其他数的热爱。

这天是小X的生日，小 W 想送一个数给他作为生日礼物。当然他不能送一

个小X讨厌的数。他列出了所有小X不讨厌的数，然后选取了第 K个数送给了

小X。小X很开心地收下了。

然而现在小 W 却记不起送给小X的是哪个数了。你能帮他一下吗？

Input

包含多组测试数据。文件第一行有一个整数 T，表示测试

数据的组数。

第2 至第T+1 行每行有一个整数Ki，描述一组数据，含义如题目中所描述。

Output

含T 行，分别对每组数据作出回答。第 i 行输出相应的

第Ki 个不是完全平方数的正整数倍的数。

Sample Input

4 1 13 100 1234567

Sample Output

1 19 163 2030745

Hint

对于 100%的数据有 1 ≤ Ki ≤ 10^9

, T ≤ 50

思路：

首先我们可以在外层套一个二分，把问题转化为判断问题，

即只需要能判断给定一个正整数X，在1~X之间，是否存在mid个数是他喜欢的数。

根据容斥原理，答案就是：0个质数乘积的平方的倍数的数量（1的倍数）- 1个质数乘积的平方的倍数的数量（4,9,25的倍数）+ 2个质数乘积的平方的倍数的数量（36,100的倍数）-3个质数乘积...+ 4个。。。。。

即加上偶数个质数乘积的平方的倍数个数，减去奇数个质数乘积的平方的倍数个数。

来看下莫比乌斯(Möbius)函数：

对于每个正整数n(n ≥ 2)，设它的质因数分解式为：

　　 $n = p_{1}^{t1}p_{2}^{t2}...p_{k}^{tk} = \prod_{i=1}^{k}p_{i}^{ti}$

　　根据这个式子定义n的莫比乌斯函数为：

　　 $\mu (n) =\begin{cases} &1\; if \; n=1 \\ &0 \; if \; \exists t_{i}> 1 \\ &(-1)^{k} \; if \; \forall t_{i}= 1 \end{cases}$

给定一个整数X，求在1~X之间，是否存在mid个数是他喜欢的数。

我们可以这样求：

枚举数i在1~sqrt（X）之间

那么i对这个答案的贡献就是 mu[i] * (X/ (i * i))

(X/ (i * i)) 是在1~X中，有多少个数是i的平方的倍数。

而他对答案是加还是减，即系数就恰好是u（i），u（）是莫比乌斯函数。

外层正常的套路二分即可。

又因为莫比乌斯函数是一个积性函数，所以可以直接线筛出来。

不会的话可以百度搜几篇关于莫比乌斯函数和对应的线筛写法即可。

细节见代码

#include <iostream>

#include <cstdio>

#include <cstring>

#include <algorithm>

#include <cmath>

#include <queue>

#include <stack>

#include <map>

#include <set>

#include <vector>

#include <iomanip>

#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()

#define sz(a) int(a.size())

#define rep(i,x,n) for(int i=x;i<n;i++)

#define repd(i,x,n) for(int i=x;i<=n;i++)

#define pii pair<int,int>

#define pll pair<long long ,long long>

#define gbtb ios::sync_with_stdio(false),cin.tie(0),cout.tie(0)

#define MS0(X) memset((X), 0, sizeof((X)))

#define MSC0(X) memset((X), '\0', sizeof((X)))

#define pb push_back

#define mp make_pair

#define fi first

#define se second

#define eps 1e-6

#define gg(x) getInt(&x)

#define chu(x) cout<<"["<<#x<<" "<<(x)<<"]"<<endl

#define du3(a,b,c) scanf("%d %d %d",&(a),&(b),&(c))

#define du2(a,b) scanf("%d %d",&(a),&(b))

#define du1(a) scanf("%d",&(a));

using namespace std;

typedef long long ll;

ll gcd(ll a, ll b) {return b ? gcd(b, a % b) : a;}

ll lcm(ll a, ll b) {return a / gcd(a, b) * b;}

ll powmod(ll a, ll b, ll MOD) {a %= MOD; if (a == 0ll) {return 0ll;} ll ans = 1; while (b) {if (b & 1) {ans = ans * a % MOD;} a = a * a % MOD; b >>= 1;} return ans;}

void Pv(const vector<int> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%d", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}

void Pvl(const vector<ll> &V) {int Len = sz(V); for (int i = 0; i < Len; ++i) {printf("%lld", V[i] ); if (i != Len - 1) {printf(" ");} else {printf("\n");}}}

inline void getInt(int *p);

const int N = 1000010;

const int inf = 0x3f3f3f3f;

/*** TEMPLATE CODE * * STARTS HERE ***/

bool vis[N];

long long prim[N], mu[N], sum[N], cnt;

void get_mu(long long n)

{

    mu[1] = 1;

    for (long long i = 2; i <= n; i++) {

        if (!vis[i]) {mu[i] = -1; prim[++cnt] = i;}

        for (long long j = 1; j <= cnt && i * prim[j] <= n; j++) {

            vis[i * prim[j]] = 1;

            if (i % prim[j] == 0) { break; }

            else { mu[i * prim[j]] = -mu[i]; }

        }

    }

    for (long long i = 1; i <= n; i++) { sum[i] = sum[i - 1] + mu[i]; }

}

ll getnum(ll mid)

{

    ll q = (sqrt(mid) + eps);

    ll res = 0ll;

    for (ll i = 1ll; i <= q; ++i) {

        res += mu[i] * (mid / (i * i));

    }

    return res;

}

ll solve(ll x)

{

    ll l = 1ll;

    ll r = x << 1;

    ll mid;

    ll ans;

    while (l <= r) {

        mid = (l + r) >> 1;

        if (getnum(mid) < x) {

            l = mid + 1ll;

        } else {

            r = mid - 1ll;

            ans = mid;

        }

    }

    return ans;

}

int main()

{

    //freopen("D:\\code\\text\\input.txt","r",stdin);

    //freopen("D:\\code\\text\\output.txt","w",stdout);

    get_mu(N - 1);

    int t;

    du1(t);

    while (t--) {

        ll n;

        scanf("%lld", &n);

        printf("%lld\n", solve(n) );

        // solve(n)

    }

    return 0;

}

inline void getInt(int *p)

{

    char ch;

    do {

        ch = getchar();

    } while (ch == ' ' || ch == '\n');

    if (ch == '-') {

        *p = -(getchar() - '0');

        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {

            *p = *p * 10 - ch + '0';

        }

    } else {

        *p = ch - '0';

        while ((ch = getchar()) >= '0' && ch <= '9') {

            *p = *p * 10 + ch - '0';

        }

    }

}