Leetcode题目53.最大子序和（动态规划-简单）

题目描述：

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例:

输入: [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4],
输出: 6
解释: 连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6。
进阶:

如果你已经实现复杂度为 O(n) 的解法，尝试使用更为精妙的分治法求解。

解法一：暴力解法

首先应该想到用“暴力解法”做，遍历所有的子区间

这里要注意一些边界条件，等于不等于需要仔细考虑。如下：

变量 i 表示结尾的那个索引；
变量 j 表示从索引 0 依次向前走；
通过双层循环，可以穷举所有的子区间，然后再对子区间内的所有元素求和。因此时间复杂度是立方级别的。

代码实现：

public class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        int res = Integer.MIN_VALUE;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j <= i; j++) {
                int sum = sumOfSubArray(nums, j, i);
                res = Math.max(res, sum);
            }
        }
        return res;
    }

    private int sumOfSubArray(int[] nums, int left, int right) {
        // 子区间的和
        int res = 0;
        for (int i = left; i <= right; i++) {
            res += nums[i];
        }
        return res;
    }

}

复杂度分析：

• 时间复杂度：O(N^3)，这里 NN 为数组的长度。
• 空间复杂度：O(1)。

解法二：动态规划

题目解析：

的是首先对数组进行遍历，当前最大连续子序列和为 sum，结果为 ans
如果 sum > 0，则说明 sum 对结果有增益效果，则 sum 保留并加上当前遍历数字
如果 sum <= 0，则说明 sum 对结果无增益效果，需要舍弃，则 sum 直接更新为当前遍历数字
每次比较 sum 和 ans的大小，将最大值置为ans，遍历结束返回结果

代码实现：

package com.company;

/**
 * @author yaoshw
 */
public class Main {

    public static void main(String[] args) {

        int[] nums = new int[]{-2, 1, -3, 4, -1, 2, 1, -5, 4};
        System.out.println(maxSubArray(nums));
    }

    public static int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) {
            return Integer.MAX_VALUE;
        }
        //记录最大值
        int maxSum = nums[0];
        int curSum = 0;
        for (int i = 0; i < nums.length; i++) {
            if(curSum>=0) {
                curSum = curSum + nums[i];
            } else {
                curSum = nums[i];
            }
            maxSum = Math.max(curSum, maxSum);
        }
        return maxSum;
    }

}

时间复杂度：O(n)

进阶解法：分治法

思路解析：

最大子序和要么在左半边，要么在右半边，要么是穿过中间，对于左右边的序列，情况也是一样，因此可以用递归处理。中间部分的则可以直接计算出来

代码实现：

public class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }
        return maxSubArraySum(nums, 0, len - 1);
    }

    private int maxCrossingSum(int[] nums, int left, int mid, int right) {
        // 一定会包含 nums[mid] 这个元素
        int sum = 0;
        int leftSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 左半边包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方
        // 走到最边界，看看最值是什么
        // 计算以 mid 结尾的最大的子数组的和
        for (int i = mid; i >= left; i--) {
            sum += nums[i];
            if (sum > leftSum) {
                leftSum = sum;
            }
        }
        sum = 0;
        int rightSum = Integer.MIN_VALUE;
        // 右半边不包含 nums[mid] 元素，最多可以到什么地方
        // 计算以 mid+1 开始的最大的子数组的和
        for (int i = mid + 1; i <= right; i++) {
            sum += nums[i];
            if (sum > rightSum) {
                rightSum = sum;
            }
        }
        return leftSum + rightSum;

    }

    private int maxSubArraySum(int[] nums, int left, int right) {
        if (left == right) {
            return nums[left];
        }
        int mid = (left + right) >>> 1;
        return max3(maxSubArraySum(nums, left, mid),
                maxSubArraySum(nums, mid + 1, right),
                maxCrossingSum(nums, left, mid, right));
    }

    private int max3(int num1, int num2, int num3) {
        return Math.max(num1, Math.max(num2, num3));
    }
}

时间复杂度： O(nlogn)