[JZOJ6347] 【NOIP2019模拟2019.9.8】ZYB玩字符串

题目

题目大意

有一个字符串\(p\)。一开始字符串\(s\)为空串。

接下来进行若干次操作：在\(s\)的某个空隙中插入\(p\)。

给出操作后的\(s\)，问长度最小的\(p\)。

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思考历程

感觉是一道神仙题。

于是考虑暴力。

在\(s\)前面找连续的最长串，作为\(p\)的前缀。显然这个串中只出现过一次\(s_1\)

同样地，在后面也找一条，作为后缀。

将前缀出现的位置和后缀出现的位置标记一下。

统计每个字符出现的个数，求最大公因数\(g\)，表明操作的次数为\(g\)的因数。

然后按照长度从小到大枚举子串，如果当前子串的头和尾都被标记了，并且中间的字符个数的比例和整个字符串的比例相等，就取这个字符串作为\(p\)暴力判断。

暴力判断的时候，每次用\(KMP\)找出一个子串，将它删去，递归。

如果有多个这样的子串，那就分别搞。

然而出现了某细节错误，导致只有\(10\)分。

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正解

这题的正解居然是\(DP\)！

考虑一个字符串，它的所有元素会在后面的操作中逐渐分离，但是它们的相对顺序是不变的。

而且它原来相邻的两个元素在后面的操作之后，两个元素之间的空间可以转化成个子问题。如果可行，则这个子问题也必定可行。

先考虑普通的\(DP\)思路：\(f_{l,r,k}\)表示区间\([l,r]\)中，有零散的\(k\)个字母拼起来等于\(p_{1..k}\)，其它的都合法，是否可行。

转移有两种：一种是从\(f_{l,r-1,k-1}\)转移过来，条件是\(s[j]=p[k]\)，就是加上一个零散的元素。

另一种是从\(f_{l,j,k} \ and \ f_{j,r,0}\)，就是在后面拼一个合法的。

然而这样会\(TLE\)。

紧接着我们发现，实际上，\(k=(r-l+1)\mod len\)

所以就可以省去一维，然后就可以\(AC\)了。

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代码

using namespace std;
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cassert>
#define N 210
inline int gcd(int a,int b){
	while (b){
		int k=a%b;
		a=b;
		b=k;
	}
	return a;
}
int n,nt;
char s[N],t[N],s2[N][N];
int buc[255],b2[255];
int m;
char c[255];
bool beg[N],end[N];
int p[N];
bool f[N][N];
inline bool work(int k,int len){
	nt=len;
	for (int i=1;i<=nt;++i)
		t[i]=s[k+i-1];
	memset(f,0,sizeof f);
	for (int i=n;i>=1;--i){
		f[i][i]=(s[i]==t[1]);
		for (int j=i+1;j<=n;++j){
			f[i][j]|=(f[i][j-1]&&s[j]==t[(j-1-i+1)%nt+1]);
			for (int k=i+(j-i)%nt;k<j && !f[i][j];k+=nt)
				f[i][j]|=(f[i][k]&&f[k+1][j]);
		}
	}
	return f[1][n];
}
int main(){
	freopen("string.in","r",stdin);
	freopen("string.out","w",stdout);
	int T;
	scanf("%d",&T);
	while (T--){
		scanf("%s",s+1);
		n=strlen(s+1);
		memset(buc,0,sizeof buc);
		for (int i=1;i<=n;++i)
			buc[s[i]]++;
		m=0;
		for (char ch=' '+1;ch<='~';++ch)
			if (buc[ch])
				c[++m]=ch;
		int g=n;
		for (int i=1;i<=m;++i)
			g=gcd(g,buc[c[i]]);
		int l=1,r=n;
		while (l<n && s[l+1]!=s[1])
			++l;
		while (r>1 && s[r-1]!=s[n])
			--r;
		memset(beg,0,sizeof beg);
		memset(end,0,sizeof end);
		for (int i=1,j;i+l-1<=n;++i){
			for (j=1;j<=l;++j)
				if (s[i+j-1]!=s[j])
					break;
			if (j<=l)
				continue;
			beg[i]=1;
		}
		for (int i=n,j;i+r-n>=1;--i){
			for (j=n;j>=r;--j)
				if (s[i+j-n]!=s[j])
					break;
			if (j>=r)
				continue;
			end[i]=1;
		}
		for (int len=max(l,n-r+1);len<=n;++len)
			if (n%len==0 && g%(n/len)==0){
				int t=n/len,hg=0;
				memset(b2,0,sizeof b2);
				for (int i=1;i<=len;++i)
					b2[s[i]]++;
				for (int i=1;i<=m;++i)
					if (b2[c[i]]*t==buc[c[i]])
						hg++;
				int i;
				for (i=1;i+len-1<=n;++i){
					if (beg[i] && end[i+len-1] && hg==m){
						if (work(i,len)){
							for (int j=i;j<i+len;++j)
								putchar(s[j]);
							putchar('\n');
							break;
						}
					}
					if (b2[s[i]]*t==buc[s[i]])
						hg--;
					b2[s[i]]--;
					if (b2[s[i]]*t==buc[s[i]])
						hg++;
					if (b2[s[i+len]]*t==buc[s[i+len]])
						hg--;
					b2[s[i+len]]++;
					if (b2[s[i+len]]*t==buc[s[i+len]])
						hg++;
				}
				if (i+len-1<=n)
					break;
			}
	}
	return 0;
}

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总结

这都想不出来……我真是太菜了……