任意模数 n 次剩余

\(n\) 次剩余

你需要解方程 \(x^n\equiv k\pmod m\)，其中 \(x\in [0,m-1]\)。

保证解数不超过 \(C=10^6\)

\(1\le n,m,k\le 10^9\)

\(k<m\)

Sol

（1）\(m\) 是奇质数

此时 \(m\) 有原根，两边取对数得 \(ny\equiv b \pmod {m-1}\)，使用 \(\text{exgcd}\) 可以求出 \(y\) 在 \([0,m-1]\) 的解。

（2）\(m=p^e\) , \(p\) 是奇质数。

令 \(k\%m \rightarrow k\) 然后分三种情况讨论如下

1、\(k=0\)

显然当且仅当 \(p^{\lceil \frac e n \rceil}\) 时等式能成立，故直接枚举 \(p^{\lceil \frac e n \rceil}\) 的倍数即可。

2、\((k,p^e)=1\)

取对数得 \(ny\equiv b \pmod{\varphi(p^e)}\)

这样的方程有解必须有 \(\gcd(n,\varphi(p^e)) \mid b\)

然后依然可以使用 \(\text{exgcd}\) 求解，然后再用指标算出 \(x=g^y\)。

3、\((k,p^e)> 1\)

我们设 \(k=c\times p^j ((c,p)=1)\)

这样的方程有解必须有 \(n \mid j\)

然后我们除去 \(p^j\) ：\(\displaystyle \left(\frac{x}{p^{\frac{j}{n}}}\right)^n\equiv c\pmod{p^{e-j}}\)

换元 \(u=\frac{x}{p^{\frac{j}{n}}}\)，\(u^n\equiv c \pmod{p^{e-j}}\)，此时和第 2 种情况一模一样，我们套用之前方法求解。

此处有重大坑点，先跳过。

（3）\(m=2^d\)

因为要输出所有解，解的个数不多，可以倍增，那么它在模 \(2^{k-1}\) 情况下的所有解 \(x\)，如果还要在 \(2^k\) 成立，必定是 \(x\) 或 \(x+2^{k-1}\)。
我们对于每一个 \(x\) 检查一下就好了，然后可以 bfs 出所有解。

最终求解

综上，我们对于一个任意正整数 \(m\)，只要对其的唯一分解形式 \(m=p_1^{q_1}p_2^{q_2}\dots\) 的每个质数进行求解即可，

最后跑一遍 DFS 枚举模每个 \(p^q\) 意义下的值，用 CRT（中国剩余定理）合并即可。

许多坑点

1、对 \(p^k\) 求原根，check 的时候要用 \(\varphi(p^k)\) 而不是直接 \(p^k-1\)

2、在原式中 \(x\) 的取值范围是 \([0,p^e)\)，那么 \(y=\frac{x}{p^{\frac{j}{n}}}\) 的取值范围就是 \([0,p^{e-\frac{j}{n}})\)；

可是在后一个式子中 \(y\) 的取值范围变成了 \([0,p^{e−j})\)！！

因此我们最后的解的个数需要扩大 \(p^{j−j/n}\) 倍，我们枚举 \([0,p^{e−j})\) 中的解向后不断扩展即可。

3、你需要一个正确的 BSGS 板子

4、正确的写法对于任何一个解的 vector 都不需要 unique 的，如果求出大量重复的解可能会被卡掉。