清北学堂—2020.1提高储备营—Day 3(图论初步(一))
qbxt Day 3
——2020.1.19 济南 主讲:李奥
目录一览
1.图论(图、图的存储方式、最小生成树的定义)
总知识点:图论
前言:众所周知,图论是一个非常重要的部分,而这次集训也可以算从头讲起了,所以说知识点很多,(不过好多还是比较简单的,毕竟是基础。。。。。)
一、图(纯知识点,初赛常考)
1.构成:点、边(有向边,无向边)
无向边构成的图叫做无向图;有向边构成的图叫做有向图(又称双向图)
2.度:(1)在无向图中,与这个点相连的边的数量叫做这个点的度。(度数和=边数*2)
(2)在有向图中,度分为两种,分别是入度和出度
入度指以该点为终点的边的数量,出度指以该点为起点的边的数量
入度、出度、边数必须满足一个公式:出度和=入度和=边数
3.图的连通性
(1)连通块:若一个点所在的集合中任意两个点可以互相到达,则称一个连通块。
(2)无向图:任意两连通块间无边相连。
(3)有向图:若一个连通块缩小成一个点,则形成一个拓补图。
4.特殊的图:树、拓补图(有向无环图,即没有任何一对点可以互相达到)
二、图的存储方式
1.邻接矩阵存储
(1)代码模板
//不带权有向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
}
//不带权无向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x>>y;
a[x][y]=1;
a[y][x]=1;
//无向图双向标记
}
//带权有向图
memset(a,0,sizeof(a))
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x>>y>>k; //k表示x到y之间的边的权值为k
a[x][y]=1;
}
//带权无向图
memset(a,0,sizeof(a));
for(int i=1;i<=n;i++){
cin>>x>>y>>k;
a[x][y]=1;
a[y][x]=1;
//无向图双向标记
}
(2)缺点分析
邻接矩阵对于两点之间有多边相连的情况,他只能其中一个信息(即不能储存所有信息)
补救措施:若求最短路,我们只需要记最短的 a[x][y]=min(a[x][y],k);
2.边列表
(1)对于有向图,如果一个节点x有多条边相连,邻接链表无法很好的处理,边列表就可以很好的解决。
(2)结构:
struct Edge{
int x,y,k,next;
}a[101];
int len;
解释:x指边的起点,y指边的终点,k指该边的权值(有无均可),a[i].next表示与i有共同起点的上一条边的编号。
不过,对于边列表,我们还需要一个辅助数组first[]。
first[x]表示以x为起点的第一条边的编号(注意这个第一实际上是最后加入,编号最大的边)。
代码:
inline void ins(int x,int y,int k){
len++;
a[len].x=x; a[len].y=y; a[len].k=k;
a[len].next=first[x];first[x]=len;
}
memset(first,0,sizeof(first));
len=0;
for(i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d%d",&x,&y,&k);
ins(x,y,k);
}
三、最小生成树
(1)定义:对于一个带权联通的无向图,从m条边中选出恰好n-1条边构成的一棵树称为该图的一棵生成树。
一个图的生成树中边权和最小的生成树即为最小生成树。
注:最小生成树可能有多个。
未完待续。。。。。。
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