Leetcode：96. 不同的二叉搜索树

Leetcode：96. 不同的二叉搜索树

Leetcode：96. 不同的二叉搜索树

题目在链接中，点进去看看吧！

先介绍一个名词：卡特兰数

卡特兰数

卡特兰数Cn满足以下递推关系：

\[C_{n+1}=C_0C_n+C_1C_{n-1}+...+C_nC_0
\]

有兴趣的同学点击这里查看亚特兰数的百度百科

很巧的是，这道题可以利用亚特兰数计算出有多少个不同的BST。

Don't talk,show me code!

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+2);
        dp[0]=1;
        for(int i=1;i<=n;i++){
            int temp=i-1;
            while(temp>=0){
                dp[i]+=dp[temp]*dp[i-temp-1];
                temp--;
            }
        }
        return dp[n];
    }
};

简单分析

这道题利用的是动态规划的思想，递推得出一个dp数组。在找规律的过程中，我们意外发现这道题的答案与亚特兰数的数学递推式和dp方程完全一致！

前提条件：这是一颗BST树，中序遍历得出的排列等于其升序排列

1. 首先，当结点数为0时，树的个数为1

2. 分析当结点数为1时：

   1. 取1为根节点，则左子树的结点数为0，右子树的结点数为0
   2. 因此结点数为1的左右子树情况为\(1*1=1\)

3. 分析当结点数为2时：

   1. 取1为根节点，则左子树的结点数为0，右子树的结点数为1
   2. 因此1根节点所有可能出现的树情况为\(1*1=1\)
   3. 取2为根节点，则左子树的结点数为1，右子树的结点数为0
   4. 因此2根节点所有可能出现的树情况为\(1*1=1\)
   5. 因此结点数为2的左右子树情况为\(1+1=2\)

4. 分析当结点数为3时：

   1. 取1为根节点，则左子树的结点数为0，右子树的结点数为2
   2. 因此1根节点所有可能出现的树情况为\(1*2=2\)
   3. 取2为根节点，则左子树的结点数为1，右子树的结点数为1
   4. 因此2根节点所有可能出现的树情况为\(1*1=1\)
   5. 取2为根节点，则左子树的结点数为2，右子树的结点数为0
   6. 因此3根节点所有可能出现的树情况为\(2*1=2\)
   7. 因此结点数为3的左右子树情况为\(1+2+1=5\)

5. 有兴趣可以继续递推，总之总结规律：

   \[dp[k]=\sum_0^{k-1} dp[i]*dp[k-i-1]
   \]

6. 然后就是编程实现啦~