Wilson定理证明

Wilson定理证明

就是那个\((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\),\(p\)是一个素数.

Lemma A

\(\mathbb{Z}_p\)可以去掉一个零元变成一个群.

即\(\forall a\in \mathbb{Z}_ {p},a\not= \overline{0}, \exists b \in \mathbb{Z}_p,ab=\overline{1}\)也就是存在逆元.

Lemma B

\(\forall a\in \mathbb{Z}_p,a\not=\overline{p-1},a^2\not\equiv 1 \pmod{p}\)

证明

设存在\(x^2\equiv 1 \pmod{p}, x<p-1\)则\(x^2=np+1\~\~ n\in \mathbb{Z}\),则\(np=(x+1)(x-1)\),则\(p\mid x-1 或 p\mid x+1\).显然,当\(p=x+1\)时\((x+1)(x-1)\)达到最小,而此刻\(x=p-1\),与\(x<p-1\)矛盾.

证明

通过Lemma A与Lemma B可知\(2\dots p-2\)的逆元都不等于它们本身,且都在\(2\dots p-2\)间.那我们对它们配对即可得\((p-2)! \equiv 1 \pmod{p}\),乘上\(p-1\)即得到\((p-1)! \equiv -1 \pmod{p}\)