洛谷P1226 【模板】快速幂||取余运算
题目描述
输入b,p,k的值,求b^p mod k的值。其中b,p,k*k为长整型数。
输入输出格式
输入格式:
三个整数b,p,k.
输出格式:
输出“b^p mod k=s”
s为运算结果
S1:用快速幂快速的求出a^b
原理
(1)如果将 a 自乘一次,就会变成 a^2 。再把 a^2 自乘一次就会变成 a^4 。然后是 a^8…… 自乘 n 次的结果是 a^(2^n) 。
(2)a^x*a^y = a^(x+y)。
(3)将 b 转化为二进制观看一下:
举个栗子: a^11=a^(8+2+1)=a^8*a^2*a 11=8+2+1,转化为二进制就是1011,每个位上的一就代表1,2,4,8....的有或无
那么怎么判断有或无呢? 用“按位与”运算 &(按位与功能是参与运算的两数各对应的二进位相与。只要对应的两个二进位都为1时,结果位就为1,比如1001&101就是0001),让a&1,判断最后一位是否是1,如果是就乘
然后还要用到“>>”这个符号,它的作用是让整个二进制数右移一位,相当于除以二,比如1011右移就是0101,这样就可以循环的判断是否要*a^多少次方
总的来说,如果 b 在二进制上的某一位是 1,我们就把答案乘上对应的 a^(2^n)
来看代码实现:
#include<iostream>
using namespace std;
int main()
{
int a,b,ans=1;
cin>>a>>b;
int i=a;
while(b)//当b不等于0时,用来判断b是否已经分解完
{
if(b&1)//判断二进制最后一位是否为1
{
ans=ans*i;//如果为1就 *a^(2^n)
}
i=i*i;//i自乘
b>>=1;//b右移一位,回到上面继续判断最后一位
}
cout<<ans;
return 0;//华丽的return
}
S2 神奇的取余运算
虽然我们已经用快速幂快速的算出了a^b,但是取余的话如果这个数太大的话评测就会炸,所以不能用常规的思路
快速幂经常要结合取余运算。这里也讲一点。
取余运算有一些好用的性质,包括:
(A+B) mod b = (A mod b + B mod b) mod b (A+B)mod b=(Amodb+Bmodb) modb
(A×B) mod b = ((A mod b) × (B mod b)) mod b (A×B)mod b=((Amodb)×(Bmodb)) modb(证明略)
于是,我们可以在每一个while循环中都给ans取余,这样可以保证最后的答案是正确的
S3 有机的结合
AC代码如下:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
long long b,p,k,s=;
long long powmod(long long a,long long b1,long long c)
{
long long i=a;
while(b1)
{
if(b1&)
{
s=(s*i)%c;
}
i=(i*i)%c;
b1>>=;
}
return s%c;
}
int main()
{
cin>>b>>p>>k;
cout<<b<<"^"<<p<<" mod "<<k<<"="<<powmod(b,p,k);
return ;
}
结合S1S2的解释很容易理解
于是这道题就结束了
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