【BZOJ1580】【USACO2009Hol】杀手游戏 计算几何

题目描述

　　一个平面上有很多个点在运动。给你每个点的初始坐标和每个点的速度，求出最多有多少个点到\(0\)号店的距离同时不超过\(r\)。

　　\(n\leq 50000\)

题解

　　我们先把\(0\)号点平移到原点，并令它静止不动。这样每个其他的点的运动轨迹就可以看成一条直线，要求出最多有多少个点同时在圆内。然后就是求直线和圆的交点。然后把这些交点按照时间排序，第一次出现就是进入，第二次出现就是出去。直接扫一遍就可以了。

　　求直线的方程&交点很简单，就是解几个方程，大家可以自己计算。设直线的方程为\(ax+by+c=0\)，圆的方程为\(x^2+y^2=r^2\)，交点的横坐标为\(x\)，结果为

\[(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2=0
\]

　　时间复杂度：\(O(n\log n)\)

　　好吧。。。我还是放上计算过程吧

\[\begin{align}
ax+by+c&=0\\
a(x-vx)+b(y-by)+c&=0\\
avx+bvy&=0\\
a&=vy\\
b&=-vx\\
c&=yvx-xvy\\
\end{align}
\]

\[\begin{cases}
x^2+y^2=r^2\\
ax+by=c
\end{cases}
\]

\[\begin{align}
y&=\frac{c-ax}{b}\\
x^2+{(\frac{c-ax}{b})}^2&=r^2\\
(a^2+b^2)x^2+2acx+c^2-b^2r^2&=0
\end{align}
\]

代码

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cstdlib>
#include<ctime>
#include<utility>
#include<cmath>
#include<functional>
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> pii;
typedef pair<ll,ll> pll;
typedef pair<double,double> pdd;
typedef pair<double,int> pdi;
void sort(int &a,int &b)
{
	if(a>b)
		swap(a,b);
}
void open(const char *s)
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
	char str[100];
	sprintf(str,"%s.in",s);
	freopen(str,"r",stdin);
	sprintf(str,"%s.out",s);
	freopen(str,"w",stdout);
#endif
}
struct point
{
	double x,y;
	point(double a=0,double b=0)
	{
		x=a;
		y=b;
	}
};
point operator -(point a,point b)
{
	return point(a.x-b.x,a.y-b.y);
}
double dist(point a)
{
	return sqrt(a.x*a.x+a.y*a.y);
}
pdi f[100010];
int m;
double r;
double eps=1e-9;
double bx,by,bvx,bvy;
int sign(double x)
{
	return x>0;
}
int tot=0;
void solve(int id)
{
	double a,b,c;
	double x,y,vx,vy;
	scanf("%lf%lf%lf%lf",&x,&y,&vx,&vy);
	x-=bx;
	y-=by;
	vx-=bvx;
	vy-=bvy;
	if(fabs(vx)<eps&&fabs(vy)<eps)
	{
		if(dist(point(x,y)-point())<r)
			tot++;
		return;
	}
	a=vy;
	b=-vx;
	//vy*x-vx*y+c=0
	c=vx*y-vy*x;
	point p1,p2;
	if(fabs(b)<=eps)
	{
		if(x>r)
			return;
		p1=p2=point(x,sqrt(r*r-x*x));
		p2.y=-p2.y;
		f[++m]=pdi((p1.y-y)/vy,id);
		f[++m]=pdi((p2.y-y)/vy,id);
		return;
	}
	double A=a*a+b*b,B=2*a*c,C=c*c-b*b*r*r;
	if(B*B-4*A*C<0)
		return;
	double x1=(-B-sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
	double x2=(-B+sqrt(B*B-4*A*C))/(2*A);
	p1=point(x1,-(a*x1+c)/b);
	p2=point(x2,-(a*x2+c)/b);
	f[++m]=pdi((p1.x-x)/vx,id);
	f[++m]=pdi((p2.x-x)/vx,id);
}
int e[100010];
int main()
{
	open("bzoj1580");
	int n;
	scanf("%d%lf%lf%lf%lf%lf",&n,&r,&bx,&by,&bvx,&bvy);
	int i;
	for(i=1;i<=n;i++)
		solve(i);
	sort(f+1,f+m+1);
	int s=0,ans=0;
	for(i=1;i<=m;i++)
	{
		if(!e[f[i].second])
		{
			e[f[i].second]=1;
			s++;
			if(f[i].first>0)
				ans=max(ans,s);
		}
		else
		{
			if(f[i].first>0)
				ans=max(ans,s);
			s--;
		}
	}
	printf("%d\n",ans+tot);
	return 0;
}