MT【245】小概率事件

(2011年AAA测试)将一枚均匀的硬币连续抛掷$n$次,以$P_n$ 表示未出现连续3次正面的概率.求$\{P_n\}$.并讨论$\{P_n\}$单调性和极限.

分类讨论:
第$n$次反面则未出现连续3次正面的概率为$\dfrac{1}{2}P_{n-1}$
第$n$次正面第$n-1$次反面则未出现连续3次正面的概率为$\dfrac{1}{4}P_{n-2}$
第$n$次正面第$n-1$次正面第$n-2$次反面则未出现连续3次正面的概率为$\dfrac{1}{8}P_{n-3}$
故$P_n=\dfrac{1}{2}P_{n-1}+\dfrac{1}{4}P_{n-2}+\dfrac{1}{8}P_{n-3}$
故$P_{n+1}=\dfrac{1}{2}P_{n}+\dfrac{1}{4}P_{n-1}+\dfrac{1}{8}P_{n-2}$
易得$P_{n+1}-P_n=-\dfrac{1}{16}P_{n-3}<0$
故$\{P_n\}$单调递减有下限,故有极限,$\lim\limits_{n\rightarrow+\infty}P_n=0$
可见小概率事件在试验次数足够多时也会发生.