问题介绍

  给定一个序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\),另一个序列\(Z=<z_1,z_2,....,z_k>\)满足如下条件时称为X的子序列:存在一个严格递增的X的下标序列\(<i_1,i_2,...,i_k>\),对所有的\(j=1,2,...,k\)满足\(x_{i_j}=z_j.\)

  给定两个序列\(X\)和\(Y\),如果\(Z\)同时是\(X\)和\(Y\)的子序列,则称\(Z\)是\(X\)和\(Y\)的公共子序列最长公共子序列(LCS)问题指的是:求解两个序列\(X\)和\(Y\)的长度最长的公共子序列。例如,序列\(X=<A,B,C,B,D,A,B>\)和\(Y=<B,D,C,A,B,A>\)的最长公共子序列为\(<B,C,B,A>\),长度为4。

  本文将具体阐释如何用动态规划法(Dynamic Programming)来求解最长公共子序列(LCS)问题。

算法分析

1. LCS的子结构

  给定一个序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\),对\(i=0,1,...,m\),定义\(X\)的第i前缀为\(X_i=<x_1,x_2,....,x_i>\),其中\(X_0\)为空序列。

  (LCS的子结构)令\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)为两个序列,\(Z=<z_1,z_2,....,z_k>\)为\(X\)和\(Y\)的任意LCS,则:

  1. 如果\(x_m=y_n,\)则\(z_k=x_m=y_n\)且\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)和\(Y_{n-1}\)的一个LCS。
  2. 如果\(x_m\neq y_n,\)则\(z_k \neq x_m\)意味着\(Z_{k-1}\)是\(X_{m-1}\)和\(Y\)的一个LCS。
  3. 如果\(x_m\neq y_n,\)则\(z_k\neq y_n\)且\(Z_{k-1}\)是\(X\)和\(Y_{n-1}\)的一个LCS。

2. 构造递归解

  在求\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)的一个LCS时,需要求解一个或两个子问题:如果\(x_m=y_n\),应求解\(X_{m-1}\)和\(Y_{n-1}\)的一个LCS,再将\(x_m=y_n\)追加到这个LCS的末尾,就得到\(X\)和\(Y\)的一个LCS;如果\(x_m\neq y_n\),需求解\(X_{m-1}\)和\(Y\)的一个LCS与\(X\)和\(Y_{n-1}\)的一个LCS,两个LCS较长者即为\(X\)和\(Y\)的一个LCS。当然,可以看出,LCS问题容易出现重叠子问题,这时候,就需要用动态规划法来解决。

  定义\(c[i,j]\)表示\(X_i\)和\(Y_j\)的LCS的长度。如果\(i=0\)或\(j=0\),则\(c[i,j]=0.\)利用LCS的子结构,可以得到如下公式:

\[c[i,j]=\left\{
\begin{array}{lr}
0,\qquad 若i=0或j=0\\
c[i-1, j-1]+1,\qquad 若i,j>0且x_i=y_j\\
\max(c[i, j-1], c[i-1, j]),\qquad 若i,j>0且x_i\neq y_j
\end{array}
\right.
\]

3. 计算LCS的长度

  计算LCS长度的伪代码为LCS-LENGTH. 过程LCS-LENGTH接受两个子序列\(X=<x_1,x_2,....,x_m>\)和\(Y=<y_1,y_2,....,y_n>\)为输入。它将\(c[i, j]\)的值保存在表\(c\)中,同时,维护一个表\(b\),帮助构造最优解。过程LCS-LENGTH的伪代码如下:

LCS-LENGTH(X, Y):
m = X.length
n = Y.length
let b[1...m, 1...n] and c[0...m, 0...n] be new table for i = 1 to m
c[i, 0] = 0
for j = 1 to n
c[0, j] = 0 for i = 1 to m
for j = 1 to n
if x[i] == y[j]
c[i,j] = c[i-1, j-1]+1
b[i,j] = 'diag' elseif c[i-1, j] >= c[i, j-1]
c[i,j] = c[i-1, j]
b[i,j] = 'up' else
c[i,j] = c[i, j-1]
b[i,j] = 'left' return c and b

4. 寻找LCS

  为了寻找\(X\)和\(Y\)的一个LCS, 我们需要用到LCS-LENGTH过程中的表\(b\),只需要简单地从\(b[m, n]\)开始,并按箭头方向追踪下去即可。当在表项\(b[i,j]\)中遇到一个'diag'时,意味着\(x_i=y_j\)是LCS的一个元素。按照这种方法,我们可以按逆序依次构造出LCS的所有元素。伪代码PRINT-LCS如下:

PRINT-LCS(b, X, i, j):
if i == 0 or j == 0
return
if b[i,j] == 'diag'
PRINT-LCS(b, X, i-1, j-1)
print x[i]
elseif b[i,j] == 'up':
PRINT-LCS(b, X, i-1, j)
else
PRINT-LCS(b, X, i, j-1)

程序实现

  有了以上对LCS问题的算法分析,我们不难写出具体的程序来实现它。下面将会给出Python代码和Java代码,供读者参考。

  完整的Python代码如下:

import numpy as np

# using dynamic programming to solve LCS problem
# parameters: X,Y -> list
def LCS_LENGTH(X, Y):
m = len(X) # length of X
n = len(Y) # length of Y # create two tables, b for directions, c for solution of sub-problem
b = np.array([[None]*(n+1)]*(m+1))
c = np.array([[0]*(n+1)]*(m+1)) # use DP to sole LCS problem
for i in range(1, m+1):
for j in range(1, n+1):
if X[i-1] == Y[j-1]:
c[i,j] = c[i-1,j-1]+1
b[i,j] = 'diag'
elif c[i-1,j] >= c[i, j-1]:
c[i,j] = c[i-1,j]
b[i,j] = 'up'
else:
c[i,j] = c[i,j-1]
b[i,j] = 'left'
#print(b)
#print(c)
return b,c # print longest common subsequence of X and Y
def print_LCS(b, X, i, j): if i == 0 or j == 0:
return None
if b[i,j] == 'diag':
print_LCS(b, X, i-1, j-1)
print(X[i-1], end=' ')
elif b[i,j] == 'up':
print_LCS(b, X, i-1, j)
else:
print_LCS(b, X, i, j-1) X = 'conservatives'
Y = 'breather' b,c = LCS_LENGTH(X,Y)
print_LCS(b, X, len(X), len(Y))

输出结果如下:

e a t e

  完整的Java代码如下:

package DP_example;

import java.util.Arrays;
import java.util.List; public class LCS {
// 主函数
public static void main(String[] args) {
// 两个序列X和Y
List<String> X = Arrays.asList("A","B","C","B","D","A","B");
List<String> Y = Arrays.asList("B","D","C","A","B","A"); int m = X.size(); //X的长度
int n = Y.size(); // Y的长度
String[][] b = LCS_length(X, Y); //获取维护表b的值 print_LCS(b, X, m, n); // 输出LCS
} /*
函数LCS_length:获取维护表b的值
传入参数: 两个序列X和Y
返回值: 维护表b
*/
public static String[][] LCS_length(List X, List Y){
int m = X.size(); //X的长度
int n = Y.size(); // Y的长度
int[][] c = new int[m+1][n+1];
String[][] b = new String[m+1][n+1]; // 对表b和表c进行初始化
for(int i=1; i<m+1; i++){
for(int j=1; j<n+1; j++){
c[i][j] = 0;
b[i][j] = "";
}
} // 利用自底向上的动态规划法获取b和c的值
for(int i=1; i<m+1; i++){
for(int j=1; j<n+1; j++){
if(X.get(i-1) == Y.get(j-1)){
c[i][j] = c[i-1][j-1]+1;
b[i][j] = "diag";
}
else if(c[i-1][j] >= c[i][j-1]){
c[i][j] = c[i-1][j];
b[i][j] = "up";
}
else{
c[i][j] = c[i][j-1];
b[i][j] = "left";
}
}
} return b;
} // 输出最长公共子序列
public static int print_LCS(String[][] b, List X, int i, int j){ if(i == 0 || j == 0)
return 0; if(b[i][j].equals("diag")){
print_LCS(b, X, i-1, j-1);
System.out.print(X.get(i-1)+" ");
}
else if(b[i][j].equals("up"))
print_LCS(b, X, i-1, j);
else
print_LCS(b, X, i, j-1); return 1;
}
}

输出结果如下:

B C B A

参考文献

  1. 算法导论(第三版) 机械工业出版社
  2. https://www.geeksforgeeks.org/longest-common-subsequence/

注意:本人现已开通两个微信公众号: 因为Python(微信号为:python_math)以及轻松学会Python爬虫(微信号为:easy_web_scrape), 欢迎大家关注哦~~

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