牛客练习赛71E-神奇的迷宫【点分治,NTT】

正题

题目链接:https://ac.nowcoder.com/acm/contest/7745/E

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题目大意

给出\(n\)个点的一棵树，每个点有一个选择权重\(a_i\)（有\(\frac{a_i}{\sum_{i=1}^na_i}\)的概率被选择）。

然后有一个序列\(w\)。随机选择两次点（可以相同）若它们之间距离为\(L\)，那么困难值为\(w_L\)

求期望困难值。

\(1\leq n\leq 10^5,0\leq w_i\leq 10^8\)

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解题思路

设\(p_i\)表示选择\(i\)的概率那么就是求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^np_ip_jw_{dis(i,j)}
\]

看起来很点分治就上点分治吧

怎么合并两个子树的距离，设\(u_i\)表示子树\(1\)中深度为\(i\)的概率和，\(v_i\)则表示子树\(2\)中的。

那么就有

\[ans=\sum_{i=1}\sum_{j=1}u_iv_iw_{i+j}=\sum_{i=1}w_{i}\sum_{j=1}u_jv_{i-j}
\]

看起来很卷积就上\(\text{NTT}\)吧

做起来比较麻烦，题解告诉我们可以直接计算整个树的然后再分别减去每个子树内的。

时间复杂度\(O(n\log^2 n)\)

这下一雪我半年前考场调了半天长剖+NTT的前耻了

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=4e5+10,P=998244353;
struct node{
	ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,l,ans,root,num,mx,tot,ls[N],p[N],w[N];
ll r[N],g[N],siz[N],f[N],x[N];
bool v[N];
ll power(ll x,ll b){
	ll ans=1;
	while(b){
		if(b&1)ans=ans*x%P;
		x=x*x%P;b>>=1;
	}
	return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void NTT(ll *f,ll op){
	for(ll i=0;i<l;i++)
		if(i<r[i])swap(f[i],f[r[i]]);
	for(ll p=2;p<=l;p<<=1){
		ll len=p>>1,tmp=power(3,(P-1)/p);
		if(op==-1)tmp=power(tmp,P-2);
		for(ll k=0;k<l;k+=p){
			ll buf=1;
			for(ll i=k;i<k+len;i++){
				ll tt=buf*f[i+len]%P;
				f[i+len]=(f[i]-tt+P)%P;
				f[i]=(f[i]+tt)%P;
				buf=buf*tmp%P;
			}
		}
	}
	if(op==-1){
		ll invn=power(l,P-2);
		for(ll i=0;i<l;i++)
			f[i]=f[i]*invn%P;
	}
	return;
}
void GetL(ll n){
	l=1;while(l<n)l<<=1;
	for(ll i=0;i<l;i++)
		r[i]=(r[i>>1]>>1)|((i&1)?(l>>1):0);
	return;
}
void groot(ll x,ll fa){
	siz[x]=1;g[x]=0;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa||v[y])continue;
		groot(y,x);siz[x]+=siz[y];
		g[x]=max(g[x],siz[y]);
	}
	g[x]=max(g[x],num-siz[x]);
	if(g[x]<g[root])root=x;
	return;
}
void calc(ll x,ll fa,ll dep){
	(f[dep]+=p[x])%=P;
	mx=max(mx,dep);
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa||v[y])continue;
		calc(y,x,dep+1);
	}
	return;
}
void del(){
	for(ll i=0;i<=mx;i++)f[i]=0;
	mx=0;return;
}
void fuc(ll n,ll z){
	GetL(2*n);
	for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=f[i];
	NTT(x,1);
	for(ll i=0;i<l;i++)x[i]=x[i]*x[i]%P;
	NTT(x,-1);
	for(ll i=0;i<l;i++)
		(ans+=z*w[i]*x[i]%P)%=P;
	return;
}
void solve(ll x){
	v[x]=1;ll tal=num;
	calc(x,x,0);fuc(mx+1,1);del();
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(v[y])continue;
		calc(y,x,1);fuc(mx+1,-1);del();
	}
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(v[y])continue;
		num=(siz[y]>siz[x])?(tal-siz[x]):siz[y];
		root=0;groot(y,x);solve(root);
	}
	return;
}
signed main()
{
	scanf("%lld",&n);ll s=0;
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&p[i]),s+=p[i];
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		p[i]=p[i]*power(s,P-2);
	for(ll i=0;i<n;i++)scanf("%lld",&w[i]);
	for(ll i=1;i<n;i++){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	num=n;g[0]=1e9;
	groot(1,1);
	solve(1);
	printf("%lld\n",(ans+P)%P);
	return 0;
}